Ejercicios de Teorema de Rouché-Fröbenius

Desarrollo:

1)

• Cogemos la matriz de coeficientes y calculamos su rango. $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 5& 5& -4\\ 3& 2& -1\end{array}\right)$$ Calculamos el rango $$|1|\ne 0;\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 5& -4\end{array}\right|=6\ne 0;\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 5& 5& -4\\ 3& 2& -1\end{array}\right|=6\ne 0$$

por lo tanto $r(A)=3$.

• Buscamos el rango de la matriz ampliada $$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -2& 3\\ 5& 5& -4& 1\\ 3& 2& -1& 1\end{array}\right)$$ Como tenemos que la $3\times 3$ es diferente de zero $$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 5& 5& -4\\ 3& 2& -1\end{array}\right|=6\ne 0$$ y no es posible una $4\times 4$ obtenemos $r(A^{\prime })=3$.

• Aplicamos el Teorema de Rouché, tenemos $n=3$ (número de incógnitas) y $r(A)=r(A^{\prime })=3$, estamos en el caso:

$r=r^{\prime }=n$, Sistema compatible determinado.

• Finalmente resolvemos el sistema. Podemos usar el método de Gauss o de Cramer.

${\mathrm{\Delta }}_1=\left|\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 1& 5& -4\\ 1& 2& -1\end{array}\right|=12,$ ${\mathrm{\Delta }}_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ 5& 1& -4\\ 3& 1& -1\end{array}\right|=-22,$ ${\mathrm{\Delta }}_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 5& 5& 1\\ 3& 2& 1\end{array}\right|=-14$ $$x={\displaystyle \frac{12}{6}}=2;y=-{\displaystyle \frac{22}{6}}=-{\displaystyle \frac{11}{3}};z=-{\displaystyle \frac{14}{6}}=-{\displaystyle \frac{7}{3}}$$

2)

• Cogemos la matriz de coeficientes y calculamos su rango. $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 2& 2& -4\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$$ Calculamos el rango $$|1|\ne 0;\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& -4\end{array}\right|=-2\ne 0;\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 2& 2& -4\\ 1& 1& -1\end{array}\right|=0$$

so $r(A)=2$.

• Buscamos el rango de la matriz ampliada $$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -2& 4\\ 2& 2& -4& 15\\ 1& 1& -1& 1\end{array}\right)$$ Miramos el orden $3\times 3$ porque hasta $2\times 2$ tenemos que es diferente de zero: $$\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ 2& -4& 15\\ 1& -1& 1\end{array}\right|=-7\ne 0$$ entonces $r(A^{\prime })=3$.

• Aplicamos el Teorema de Rouché, tenemos $n=3$ (número de incógnitas) y $r(A)=2$, $r(A^{\prime })=3$, estamos en el caso:

$r\ne r^{\prime }$, Sistema incompatible.

3)

• Cogemos la matriz de coeficientes y calculamos su rango. $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 1& 3& -5\\ 2& -2& 4\end{array}\right)$$ Calculamos el rango $$|1|\ne 0;\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 3\end{array}\right|=4\ne 0;\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 1& 3& -5\\ 2& -2& 4\end{array}\right|=0$$

por lo tanto $r(A)=2$.

• Buscamos el rango de la matriz ampliada $$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 1\\ 1& 3& -5& 4\\ 2& -2& 4& 2\end{array}\right)$$ Miramos el orden $3\times 3$ porque hasta $2\times 2$ tenemos que es diferente de zero: $$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 3& 4\\ 2& -2& 2\end{array}\right|=0;\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& -5& 4\\ 2& 4& 2\end{array}\right|=0;\left|\begin{array}{ccc}-1& 2& 1\\ 3& -5& 4\\ -2& 4& 2\end{array}\right|=0;$$ entonces $r(A^{\prime })=2$.

• Aplicamos el Teorema de Rouché, tenemos $n=3$ (número de incógnitas) y $r(A)=r(A^{\prime })=2$, estamos en el caso:

$r=r^{\prime }\ne n$, Sistema compatible indeterminado.

• Finalmente resolvemos el sistema. Podemos usar el método de Gauss. $$\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& |& 1\\ 1& 3& -5& |& 4\\ 2& -2& 4& |& 2\end{array}\right)\to \{\begin{array}{c}f1-f2\to f2\\ 2f1-f3\to f3\end{array}\to \left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& |& 1\\ 0& -4& 7& |& -3\\ 0& 0& 0& |& 0\end{array}\right)$$

$$\begin{gathered} z=z \\ -4y+7z=-3\Rightarrow -4y=-7z-3\Rightarrow y={\displaystyle \frac{7z+3}{4}} \end{gathered}$$

Sustituyendo en la primera ecuación: $$x-{\displaystyle \frac{7z+3}{4}}+2z=1\Rightarrow x+{\displaystyle \frac{-7z-3+8z}{4}}=1\Rightarrow$$ $$x=1-{\displaystyle \frac{z-3}{4}}={\displaystyle \frac{4}{4}}-{\displaystyle \frac{z-3}{4}}={\displaystyle \frac{-z+7}{4}}$$

Solución:

1) $x=2;y=-{\displaystyle \frac{11}{3}};z=-{\displaystyle \frac{7}{3}}$.

2) Sistema incompatible.

3) $x={\displaystyle \frac{-z+7}{4}};y={\displaystyle \frac{7z+3}{4}};z=z$.

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