Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes (r) y el de la matriz ampliada (r′) sean iguales.

  • r=r′ Sistema Compatible.
    • r=r′=n Sistema Compatible Determinado.
    • r=r′≠n Sistema Compatible Indeterminado.
  • r≠r′ Sistema Incompatible.

donde como decimos, r es el Rango de la matriz del sistema y r′ es el Rango de la matriz ampliada del sistema.

Evidentemente para la correcta utilización de dicho teorema uno debe haber asimilado qué es y como se calcula el rango de una matriz.

Cuando la parte técnica no es problema, este teorema nos permite hacer una discusión sobre los sistemas de ecuaciones.

Véase el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Sea el sistema de ecuaciones: {2x−y−2z=−2−x+y+z=0x−2y+z=82x−2y=6

1) Se toma la matriz de los coeficientes y se halla el rango. (2−1−2−1111−212−20) (y se calcula el rango) |2|=2≠0;  |2−1−11|=1≠0;  |2−1−2−1111−21|=2≠0 o sea, r(A)=3.

2) Se halla el rango de la matriz ampliada.

Se mira la matriz de orden 4 (ya se ha comprobado que hasta orden 3 podemos encontrar alguna matriz con determinante no nulo).

|A′|=|2−1−2−2−11101−2182−206|=0 o sea, r(A′)=3=r(A).

3) Se aplica el teorema de Rouché: r(A)=r(A′)=n, entonces es un Sistema compatible determinado.

4) Se resuelve el sistema, si éste no es incompatible, por la regla de Cramer o por el método de Gauss.

Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz de orden 3, que tiene rango 3, y lo resolvemos.

{2x−y−2z=−2−x+y+z=0x−2y+z=8 Lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:

x=|−2−1−20118−21|2=22=1;  y=|2−2−2−101181|2=−42=−2 z=|2−1−2−1101−28|2=62=3