Cuando se obtiene un conjunto de ecuaciones lineales hablamos de un sistema de ecuaciones lineales. En general este puede tener $$n$$ incógnitas y $$m$$ ecuaciones.
Sea pues el sistema $$$\left\{ \begin{array}{c} x+y+t=0 \\ x-y-t=2 \end{array} \right.$$$
En este caso $$n=3$$ y $$m=2$$, pues tenemos $$3$$ incógnitas $$(x,y,t)$$ y solamente dos ecuaciones.
La manera más general de escribir un sistema es la que sigue: $$$\left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\ldots+a_{3n}x_n=b_3 \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\ldots+a_{mn}x_n=b_m \end{array} \right.$$$
Donde los $$a$$ son coeficientes, las $$x$$ son las incógnitas (hay $$n$$) y los $$b$$ son los términos independientes (hay $$m$$). En general $$n$$ y $$m$$ no tienen porque ser el mismo número, pudiendo ser $$n > m$$, $$n < m$$.
Cabe remarcar que cuando el sistema tiene pocas incógnitas, o sea, cuando $$n$$ es pequeño, las incógnitas suelen llamarse con letras diferentes $$(x, y, t, z, \ldots)$$ en vez de usar lo subíndices.
Además si todos los términos $$b$$ son nulos se dice que es un sistema homogéneo.
En el caso de sistemas de ecuaciones también se llama sistemas equivalentes a aquellos cuyas soluciones son iguales.
Una manera alternativa de escribir el sistema de ecuaciones consiste en escribir la matriz de los coeficientes como sigue:
$$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}$$$
(Normalmente se deberá reescribir el sistema mediante su matriz para poder utilizar los métodos de resolución habituales.)
En general los sistemas de ecuaciones podrán clasificarse según tengan o no solución, y en el caso afirmativo si tienen una o infinitas.
La clasificación será como sigue:
- Sistema INCOMPATIBLE: No tiene solución
- Sistema COMPATIBLE:
- Compatible determinado (Solución única)
- Compatible indeterminado (Infinitas soluciones)