Sistemas de ecuaciones lineales n x m

Cuando se obtiene un conjunto de ecuaciones lineales hablamos de un sistema de ecuaciones lineales. En general este puede tener n incógnitas y m ecuaciones.

Sea pues el sistema {x+y+t=0xyt=2

En este caso n=3 y m=2, pues tenemos 3 incógnitas (x,y,t) y solamente dos ecuaciones.

La manera más general de escribir un sistema es la que sigue: {a11x1+a12x2+a13x3++a1nxn=b1a21x1+a22x2+a23x3++a2nxn=b2a31x1+a32x2+a33x3++a3nxn=b3am1x1+am2x2+am3x3++amnxn=bm

Donde los a son coeficientes, las x son las incógnitas (hay n) y los b son los términos independientes (hay m). En general n y m no tienen porque ser el mismo número, pudiendo ser n>m, n<m.

Cabe remarcar que cuando el sistema tiene pocas incógnitas, o sea, cuando n es pequeño, las incógnitas suelen llamarse con letras diferentes (x,y,t,z,) en vez de usar lo subíndices.

Además si todos los términos b son nulos se dice que es un sistema homogéneo.

En el caso de sistemas de ecuaciones también se llama sistemas equivalentes a aquellos cuyas soluciones son iguales.

Una manera alternativa de escribir el sistema de ecuaciones consiste en escribir la matriz de los coeficientes como sigue:

(a11a12a1nb1a21a22a2nb2am1am2amnbm)

(Normalmente se deberá reescribir el sistema mediante su matriz para poder utilizar los métodos de resolución habituales.)

En general los sistemas de ecuaciones podrán clasificarse según tengan o no solución, y en el caso afirmativo si tienen una o infinitas.

La clasificación será como sigue:

  • Sistema INCOMPATIBLE: No tiene solución
  • Sistema COMPATIBLE:
    • Compatible determinado (Solución única)
    • Compatible indeterminado (Infinitas soluciones)