Sistemes d'equacions lineals n x m

Quan s'obté un conjunt d'equacions lineals parlarem d'un sistema d'equacions lineals. En general aquest pot tenir $n$ incògnites i $m$ equacions.

Sigui doncs el sistema ${\begin{matrix} x + y + t = 0 \\ x - y - t = 2 \end{matrix}$

En aquest cas $n = 3$ i $m = 2$ , ja que tenim $3$ incògnites $(x, y, t)$ i només dues equacions.

La manera més general d'escriure un sistema és la següent: ${\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} + \dots + a_{3 n} x_{n} = b_{3} \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + a_{m 3} x_{3} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} \end{matrix}$

On els $a$ són coeficients, les $x$ són les incògnites (n'hi ha $n$ ) i els $b$ són els termes independents (n'hi ha $m$ ). En general $n$ i $m$ no tenen perquè ser el mateix nombre, podent ser $n > m$ , $n < m$ .

Cal remarcar que quan el sistema té poques incògnites, és a dir, quan $n$ és petit, les incògnites solen anomenar-se amb lletres diferents $(x, y, t, z, \dots)$ en lloc d'utilitzar el subíndexs.

A més si tots els termes $b$ són nuls es diu que és un sistema homogeni.

En el cas de sistemes d'equacions també s'anomena sistemes equivalents a aquells que tenen les solucions iguals.

Una manera alternativa d'escriure el sistema d'equacions consisteix a escriure la matriu dels coeficients de la manera següent:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

(Normalment s'haurà de reescriure el sistema mitjançant la seva matriu per poder utilitzar els mètodes de resolució habituals.)

En general els sistemes d'equacions podran classificar-se segons tinguin o no solució, i en el cas afirmatiu si tenen una o infinites.

La classificació és de la manera següent:

Sistema INCOMPATIBLE: No té solució
Sistema COMPATIBLE:
- Compatible determinat (Solució única)
- Compatible indeterminat (Infinites solucions)