Tenim una urna amb set boles, numerades de l'$$1$$ al $$7$$. El nostre experiment consisteix en treure una bola i observar quin nombre té.
a) Determina l'espai mostral, i els successos $$A =$$"treure un nombre major o igual que $$4$$", $$B =$$"treure un nombre parell", $$C =$$"treure un múltiple de $$3$$", $$D =$$"treure un nombre més gran que $$8$$", és a dir, expressa $$A, B, C$$ i $$D$$ com a conjunt de resultats possibles.
b) Són $$A$$, $$B$$, i $$\overline{C}$$ compatibles dos a dos? Explica-ho raonadament.
Desenvolupament:
a)
L'espai mostral és el conjunt de tots els resultats possibles. En el nostre, tenim set boles numerades, de manera que $$\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$$, és a dir, treure la bola $$1$$, treure la bola $$2$$, etc.
Només podem treure boles entre $$1$$ i $$7$$. Per tant, $$A= \{4, 5, 6, 7\}$$, que són les boles amb nombre major o igual que $$4$$.
$$B= \{2, 4, 6\}$$, ja que correspon amb els nombres parells que hi ha entre $$1$$ i $$7$$.
$$C= \{3, 6\}$$, els múltiples de $$3$$ entre $$1$$ i $$7$$.
$$D=\emptyset$$, és a dir, $$D$$ és un succés impossible, ja que només tenim boles entre $$1$$ i $$7$$, i per tant, no podem treure mai una bola amb nombres més gran que $$8$$.
b)
Primer hem de calcular $$\overline{C}$$. El conjunt contrari a $$C$$ és el conjunt de tots els resultats possibles que no estan en $$C$$. En el nostre cas, $$\overline{C}=\Omega-C=\{1,2,4,5,7\}$$.
Ara, considerem totes les parelles possibles entre $$A, B$$ i $$\overline{C}$$. Són les següents: $$A$$ i $$B$$, $$A$$ i $$\overline{C}$$, $$B$$ i $$\overline{C}$$. Hem vist que $$A=\{4, 5, 6, 7\}$$, $$B=\{2, 4, 6\}$$, $$\overline{C}=\Omega-C=\{1,2,4,5,7\}$$.
$$A$$ i $$B$$ són compatibles, ja que es poden verificar alhora. Els elements en comú d'$$A$$ i $$B$$ són $$\{ 2 , 4 \}$$, o dit d'una altra manera, $$A\cap B=\{2,4\}$$. És a dir, si surt un $$2$$, o també si surt un $$4$$, es compleixen tant $$A$$ com $$B$$.
$$A$$ i $$\overline{C}$$ també són compatibles. Tant si surt un $$4$$, un $$5$$, o un $$7$$, es compleixen $$A$$ i $$\overline{C}$$.
$$B$$ i $$\overline{C}$$ són compatibles. Amb un $$2$$ o un $$4$$, es verifica tant $$B$$ com $$\overline{C}$$.
És a dir, $$A, B$$ i $$\overline{C}$$ són compatibles dos a dos. Si ens fixem, si traiem la bola $$4$$, es compleixen els tres successos al mateix temps, o dit d'una altra manera, els tres successos són compatibles: $$A\cap B \cap \overline{C}=\{4\}$$.
Així doncs, sabem que els tres esdeveniments seran compatibles dos a dos. No obstant, això no funciona al revés: podria passar que els tres successos fossin compatibles dos a dos, però no poguéssim trobar cap succés elemental que puguen fer que complissin els tres alhora.
Solució:
a) $$\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$$, $$A= \{4, 5, 6, 7\}$$, $$B= \{2, 4, 6\}$$, $$C= \{3, 6\}$$, $$D=\emptyset$$.
b) Són compatibles dos a dos, ja que $$A$$ i $$B$$, $$A$$ i $$\overline{C}$$, $$B$$ i $$\overline{C}$$ són compatibles.