Tenemos una urna con siete bolas, numeradas del $$1$$ al $$7$$. Nuestro experimento consiste en sacar una bola y observar qué número tiene.
a) Determina el espacio muestral, y los sucesos $$A =$$ "sacar un número mayor o igual que $$4$$" , $$B =$$ "sacar un número par" , $$C =$$ "sacar un múltiplo de $$3$$", $$D =$$ "sacar un número mayor que $$8$$", es decir, expresa $$A, B, C$$ y $$D$$ como conjunto de resultados posibles.
b) ¿Son $$A$$, $$B$$, y $$\overline{C}$$ compatibles dos a dos? Explícalo razonadamente.
Desarrollo:
a)
El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. En nuestro, tenemos siete bolas numeradas, por lo que $$\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$$, es decir, sacar la bola $$1$$, sacar la bola $$2$$, etc.
Sólo podemos sacar bolas entre $$1$$ y $$7$$. Por lo tanto, $$A= \{4, 5, 6, 7\}$$, que son las bolas con número mayor o igual que $$4$$.
$$B= \{2, 4, 6\}$$, ya que corresponde con los números pares que hay entre $$1$$ y $$7$$.
$$C= \{3, 6\}$$, los múltiplos de $$3$$ entre $$1$$ y $$7$$.
$$D=\emptyset$$, es decir, $$D$$ es un suceso imposible, puesto que sólo tenemos bolas entre $$1$$ y $$7$$, y por tanto, no podemos sacar nunca una bola con número mayor que $$8$$.
b)
Primero debemos calcular $$\overline{C}$$. El conjunto contrario a $$C$$ es el conjunto de todos los resultados posibles que no están en $$C$$. En nuestro caso, $$\overline{C}=\Omega-C=\{1,2,4,5,7\}$$.
Ahora, consideremos todas las parejas posibles entre $$A, B$$ y $$\overline{C}$$. Son las siguientes: $$A$$ y $$B$$, $$A$$ y $$\overline{C}$$, $$B$$ y $$\overline{C}$$. Hemos visto que $$A=\{4, 5, 6, 7\}$$, $$B=\{2, 4, 6\}$$, $$\overline{C}=\Omega-C=\{1,2,4,5,7\}$$.
$$A$$ y $$B$$ son compatibles, ya que se pueden verificar a la vez. Los elementos en común de $$A$$ y $$B$$ son $$\{ 2 , 4 \}$$, o dicho de otro modo, $$A\cap B=\{2,4\}$$. Es decir, si sale un $$2$$, o también si sale un $$4$$, se cumplen tanto $$A$$ como $$B$$.
$$A$$ y $$\overline{C}$$ también son compatibles. Tanto si sale un $$4$$, un $$5$$, o un $$7$$, se cumplen $$A$$ y $$\overline{C}$$.
$$B$$ y $$\overline{C}$$ son compatibles. Con un $$2$$ o un $$4$$, se verifica tanto $$B$$ como $$\overline{C}$$.
Es decir, $$A, B$$ y $$\overline{C}$$ son compatibles dos a dos. Si nos fijamos, si sacamos la bola $$4$$, se cumplen los tres sucesos a la vez, o dicho de otro modo, los tres sucesos son compatibles: $$A\cap B \cap \overline{C}=\{4\}$$.
Así pues, sabemos que los tres sucesos serán compatibles dos a dos. No obstante, esto no funciona al revés: podría pasar que los tres sucesos fueran compatibles dos a dos, pero no pudiéramos encontrar ningún suceso elemental que hiciera que se cumplieran los tres a la vez.
Solución:
a) $$\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$$, $$A= \{4, 5, 6, 7\}$$, $$B= \{2, 4, 6\}$$, $$C= \{3, 6\}$$, $$D=\emptyset$$.
b) Son compatibles dos a dos, puesto que $$A$$ y $$B$$, $$A$$ y $$\overline{C}$$, $$B$$ y $$\overline{C}$$ son compatibles.