Sucesos compatibles e incompatibles

Empecemos con el experimento siguiente: tiramos un dado de seis caras y vemos qué resultado sale. Consideremos los siguientes sucesos $A=\{2,3\}$, $B=\{1,2\}$, $C=\{5\}$.

Observamos que si sacamos un $2$, entonces se cumple tanto $A$ como $B$. Decimos que los sucesos son compatibles, esto quiere decir, que se pueden verificar simultáneamente. Por el contrario, los sucesos $B$ y $C$ son incompatibles, puesto que no se pueden dar los dos a la vez.

Para ver fácilmente cuándo dos sucesos son compatibles o no, podemos observar que $A$ y $B$ tienen un elemento común: el $2$, por lo que serán compatibles. Por el contrario, $A$ y $C$ no tienen ningún elemento en común, y por lo tanto son incompatibles.

Esto lo expresamos diciendo que dos sucesos $A$ y $B$ son incompatibles si: $$A\cap B=\mathrm{\varnothing }$$

y al contrario, que son compatibles si:

$$A\cap B\ne \mathrm{\varnothing }$$

Si tenemos tres o más sucesos, decimos que son incompatibles dos a dos si cualquier pareja de sucesos es incompatible (análogamente, son compatibles dos a dos si cualquier pareja de sucesos es compatible). En nuestro caso, $A,B$ y $C$ no son incompatibles dos a dos, puesto que, aunque $A$ y $C$, $B$ y $C$ son incompatibles, $A$ y $B$ son compatibles.

¿Cómo se relaciona esto con los sucesos complementarios?

En nuestro experimento de tirar un dado, si tenemos nuestro suceso $A=\{2,3\}$, analicemos qué pasa con su complementario.

En este caso, $\bar{A}=\{1,4,5,6\}$, ya que son todos los sucesos elementales que no cumplen $A$.

Resulta pues que $A$ y $\bar{A}$ son incompatibles, puesto que no se pueden verificar a la vez. Y es que para cualquier suceso $A$ calculamos su complementario haciendo $\bar{A}=\mathrm{\Omega }-A$, por lo que $A\cap \bar{A}=\mathrm{\varnothing }$, es decir, dos sucesos complementarios siempre serán incompatibles.

Supongamos ahora que $D=$"sacar un número par"$=\{2,4,6\}$. Su complementario es $\bar{D}=$"sacar un número impar"$=\{1,3,5\}$. Entonces, $D\cup \bar{D}=$"sacar un número par o impar"$=\{1,2,3,4,5,6\}=\mathrm{\Omega }$, es decir, es un suceso seguro.

Por cómo definimos un suceso complementario, esto siempre ocurrirá, ya que se cumple siempre uno de los dos, y como son incompatibles, o se cumple uno o se cumple el otro.