Regla de Laplace

La regla de Laplace es tremendamente importante, puesto que nos permite calcular la probabilidad de un suceso, siempre que los sucesos elementales sean equiprobables, es decir, que todos los resultados posibles tengan la misma probabilidad. En estas condiciones, tenemos que:

La probabilidad de un suceso $A$ se obtiene dividiendo el número de resultados que forman el suceso A entre el número de resultados posibles.

Si decimos que los sucesos de $A$ son los casos favorables a $A$ , entonces podemos escribir la regla de Laplace como:

$P (A) = \frac{casos favorables a A}{casos posibles}$

¡Atención! Debemos tener en cuenta que esta regla sólo funciona cuando todos los casos son equiprobables. NO es válido un razonamiento como el siguiente:

Queremos calcular la probabilidad del suceso $A =$ "ser atropellado por un tranvía". Sólo hay dos casos posibles, "ser atropellado" y "no ser atropellado". Hay un caso favorable, "ser atropellado". Por tanto, la probabilidad es de $P (A) = \frac{1}{2}$ .

Esto significaría que cada vez que saliéramos a la calle, tendríamos el $50 %$ de probabilidad de ser atropellados. El error está, por supuesto, en que los dos sucesos no tienen la misma probabilidad.

Por este mismo motivo, si queremos resolver un problema con la regla de Laplace, tenemos que ir con cuidado si queremos considerar que nuestros resultados posibles están desordenados, puesto que podría ser que no todos fueran igual de probables. Veamos el siguiente ejemplo NO válido.

Si en una familia hay dos hijos, y suponemos que la probabilidad de ser hombre es la misma que la de ser mujer, ¿cuál es la probabilidad de que los dos hijos sean del mismo sexo?

Podríamos argumentar que el espacio muestral es $Ω = {{H, H}, {H, M}, {M, M}}$ , es decir, "dos hombres", "un hombre y una mujer", y "dos mujeres".

Entonces, los casos favorables son $2$ , y los casos posibles son $3$ , por lo que la probabilidad sería de $2 / 3$ .

El error está en que los tres casos no son equiprobables, ya que para que haya un hombre y una mujer, puede ser que el primer hijo sea un hombre, y el segundo una mujer, o bien que la primera sea una mujer, y el segundo un hombre. Lo resolveremos correctamente en el próximo ejemplo.

Así pues, cuando queramos aplicar la regla de Laplace, normalmente consideraremos nuestro espacio muestral ordenado, como hemos hecho hasta ahora, para evitar errores.

Veamos cómo se aplica correctamente esta regla.

Ejemplo

Si en una familia hay dos hijos, y suponemos que la probabilidad de ser hombre es la misma que la de ser mujer, ¿cuál es la probabilidad de que los dos hijos sean del mismo sexo?

Como vamos a aplicar la regla de Laplace, consideraremos los resultados ordenados.

En este caso, nuestro espacio muestral es $Ω = {H H, H M, M H, M M}$

Los casos favorables son $H H$ y $M M$ . Por lo tanto, la probabilidad es de $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ es decir de $0^{'} 5$ (el $50 %$ ).

Ejemplo

Calcular la probabilidad de que al tirar dos monedas al aire salgan dos caras.

Cada vez que tiramos una moneda, es igual de probable que salga cara o cruz, por lo que todos los resultados posibles son equiprobables.

Nuestro espacio muestral tiene $4$ elementos, $Ω = {c c, c +, + c, + +}$ , y sólo hay un caso favorable al suceso $A =$ "sacar dos caras" $= {c c}$

Por lo tanto, $P (A) = \frac{1}{4}$ es decir, una probabilidad de $0^{'} 25$ , el $25 %$

Ejemplo

Supongamos que la probabilidad de nacer hombre es la misma que la probabilidad de nacer mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que, si tenemos tres hijos, dos de ellos sean mujeres?

Nuestros sucesos elementales serán: "hombre" $(H)$ y "mujer" $(M)$ . Nuestro espacio muestral es entonces $Ω = {H H H, H H M, H M H, H M M, M H H, M H M, M M H, M M M}$ , si consideramos los hijos ordenados.

Entonces, los casos favorables a nuestro suceso $A =$ "dos mujeres" son: $H M M, M H M, M M H, M M M$

Por lo tanto, $P (A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ es decir, tenemos una probabilidad de $0^{'} 5$ , el $50 %$

También es correcto pensar que la probabilidad de cada suceso es $\frac{1}{8}$ , puesto que son todos equiprobables (y la suma de todas las probabilidades ha de ser 1), y por lo tanto, si tenemos cuatro sucesos elementales favorables,

$P (A) = P (H M M) + P (M H M) + P (M M H) + P (M M M) = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$

Ejemplo

Supongamos que tiramos un dado. Queremos calcular la probabilidad de $A =$ "sacar un número par", $B =$ "sacar un número menor o igual que $5$ ", $C =$ "sacar un tres o un cinco", $D = A \cap B$ , $E = A \cup B$

El espacio mostral es $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Casos favorables a $A : 2, 4, 6$ . Casos favorables a $B : 1, 2, 3, 4, 5$ . Casos favorables a $C : 3, 5$

Por lo tanto, $P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , $P (B) = \frac{5}{6}$ , $P (C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ahora calculemos qué es $D =$ "sacar un número par y menor o igual que $5$ ". Los casos favorables son: $2, 4$ . Por lo tanto, $P (D) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} .$

Por su parte $E =$ "sacar un número par o menor o igual que $5$ " $= {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Por lo tanto, $P (E) = \frac{6}{6} = 1$

Observemos que se cumple $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Esta es una propiedad general de la probabilidad.

En nuestro caso, el suceso $A \cup B$ corresponde a tener como Casos favorables todo el espacio mostral, y $A \cap B = D$ , así que tenemos que $P (Ω) = P (A) + P (B) - P (D)$ , es decir, $1 = \frac{1}{2} + \frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{3 + 5 - 2}{6} = \frac{6}{6}$