Regla de Laplace

La regla de Laplace és tremendament important, ja que ens permet calcular la probabilitat d'un succés, sempre que els successos elementals siguin equiprobables, és a dir, que tots els resultats possibles tenen la mateixa probabilitat. En aquestes condicions, hem de:

La probabilitat d'un succés $A$ s'obté dividint el nombre de resultats que formen el succés $A$ entre el nombre de resultats possibles.

Si diem que els successos d' $A$ són els casos favorables a $A$ , llavors podem escriure la regla de Laplace com:

$P (A) = \frac{casos favorables a A}{casos possibles}$

Atenció! Hem de tenir en compte que aquesta regla només funciona quan tots els casos són equiprobables. NO és vàlid un raonament com el següent:

Volem calcular la probabilitat del succés $A =$ "ser atropellat per un tramvia". Només hi ha dos casos possibles, "ser atropellat" i "no ser atropellat". Hi ha un cas favorable, "ser atropellat". Per tant, la probabilitat és de $P (A) = \frac{1}{2}$ .

Això significaria que cada vegada que sortíssim al carrer, tindríem el $50 %$ de probabilitat de ser atropellats. L'error està, per descomptat, en que els dos successos no tenen la mateixa probabilitat.

Per aquest mateix motiu, si volem resoldre un problema amb la regla de Laplace, hem d'anar amb compte si volem considerar que els nostres resultats possibles estan desordenats, ja que podria ser que no tots fossin igual de probables.

Vegem el següent exemple NO vàlid:

Si en una família hi ha dos fills, i suposem que la probabilitat de ser home és la mateixa que la de ser dona, quina és la probabilitat que els dos fills siguin del mateix sexe?

Podríem dir que l'espai mostral és $Ω = {{H, H}, {H, M}, {M, M}}$ , és a dir, "dos homes", "un home i una dona", i "dues dones".

Llavors, els casos favorables són $2$ , i els casos possibles són $3$ , de manera que la probabilitat seria de $2 / 3$ .

L'error està en que els tres casos no són equiprobables, ja que perquè hi hagi un home i una dona, pot ser que el primer fill sigui un home, i el segon una dona, o bé que la primera sigui una dona, i el segon un home. El resoldrem correctament en el pròxim exemple.

Així doncs, quan vulguem aplicar la regla de Laplace, normalment considerarem el nostre espai mostral ordenat, com hem fet fins ara, per evitar errors.

Vegem com s'aplica correctament aquesta regla:

Exemple

Si en una família hi ha dos fills, i suposem que la probabilitat de ser home és la mateixa que la de ser dona, quina és la probabilitat que els dos fills siguin del mateix sexe?

Com anem a aplicar la regla de Laplace, considerarem els resultats ordenats.

En aquest cas, el nostre espai mostral és $Ω = {H H, H M, M H, M M}$ .

Els casos favorables són $H H$ i $M M$ . Per tant, la probabilitat és de $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ és a dir de $0^{'} 5$ (el $50 %$ ).

Exemple

Calcular la probabilitat que en tirar dues monedes a l'aire surtin dues cares.

Cada vegada que tirem una moneda, és igual de probable que surti cara o creu, de manera que tots els resultats possibles són equiprobables.

El nostre espai mostral té $4$ elements, $Ω = {c c, c +, + c, + +}$ , només hi ha un cas favorable al succés $A =$ "treure dues cares" $= {c c}$ .

Per tant, $P (A) = \frac{1}{4}$ és a dir, una probabilitat de $0^{'} 25$ , el $25 %$ .

Exemple

Suposem que la probabilitat de néixer home és la mateixa que la probabilitat de néixer dona. Quina és la probabilitat que, si tenim tres fills, dos d'ells siguin dones?

Els nostres successos elementals seran: "home" $(H)$ i "dona" $(M)$ . El nostre espai mostral és llavors $Ω = {H H H, H H M, H M H, H M M, M H H, M H M, M M H, M M M}$ , si considerem els fills ordenats.

Llavors, els casos favorables al nostre succés $A =$ "dues dones" són: $H M M, M H M, M M H, M M M$ .

Per tant, $P (A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ és a dir, tenim una probabilitat de $0^{'} 5$ , el $50 %$ .

També és correcte pensar que la probabilitat de cada succés és $\frac{1}{8}$ , ja que són tots equiprobables (i la suma de totes les probabilitats ha de ser 1), i per tant, si tenim quatre successos elementals favorables,

$P (A) = P (H M M) + P (M H M) + P (M M H) + P (M M M) = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2} .$

Exemple

Suposem que llencem un dau. Volem calcular la probabilitat de $A =$ "treure un nombre parell", $B =$ "treure un nombre menor o igual que $5$ ", $C =$ "treure un tres o un cinc", $D = A \cap B$ , $E = A \cup B$ .

L'espai mostral és $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Casos favorables a $A : 2, 4, 6$ . Casos favorables a $B : 1, 2, 3, 4, 5$ . Casos favorables a $C : 3, 5$ .

Per tant, $P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , $P (B) = \frac{5}{6}$ , $P (C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} .$

Ara calculem què és $D =$ "treure un nombre parell i menor o igual que $5$ ". Els casos favorables són: $2, 4$ . Per tant, $P (D) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} .$

Per la seva banda $E =$ "treure un nombre parell o menor o igual que $5$ " $= {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Per tant, $P (E) = \frac{6}{6} = 1.$

Observem que es compleix $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .$

Aquesta és una propietat general de la probabilitat.

En el nostre cas, com $A \cup B$ correspon a tenir com a Casos favorables tot l'espai mostral, i $A \cap B = D$ , tenim que $P (Ω) = P (A) + P (B) - P (D)$ , és a dir, $1 = \frac{1}{2} + \frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{3 + 5 - 2}{6} = \frac{6}{6}$