Exercicis de Regla de Laplace

Desenvolupament:

Primer hem de descriure el nostre espai mostral. A cada dau pot sortir un número entre $1$ i $6$, de manera que tots els resultats possibles són $$\mathrm{\Omega }=\{1-1,1-2,1-3,1-4,1-5,1-6,2-1,2-2,\dots \}$$

Notem que hi ha $36$ elements: el podem veure pensant que en el primer donat pot sortir un número entre $1$ i $6$, i en el segon el mateix, pel que en total hi ha $6\cdot 6=36$ maneres possibles.

Tots els casos són equiprobables, i per tant la probabilitat de cada succés elemental és de ${\displaystyle \frac{1}{36}}$, per la regla de Laplace.

a) Volem veure quins són els resultats favorables a $A=$ "treure més d'un $8$". Els resultats que el compleixen són tots els que sumen $9$, els que sumen $10$, els que sumen $11$, i els que sumen $12$. No hi pot haver resultats més alts, ja que la tirada màxima és de sis en els dos daus, és a dir, $6+6=12$.

Així doncs, estem dient que $A=A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$, i hem de pensar quins successos compleixen el següent:

$A_1=$"sumar $9$"$=\{3-6,4-5,5-4,6-3\}$, és a dir, hi ha quatre casos favorables.

$A_2=$"sumar $10$"$=\{4-6,5-5,6-4\}$, tres casos favorables.

$A_3=$"sumar $11$"$=\{5-6,6-5\}$, dos casos favorables.

$A_4=$"sumar $12$"$=\{6-6\}$, un cas favorable.

Com que tots els successos són equiprobables, podem aplicar la regla de Laplace,

$P(A_1)={\displaystyle \frac{4}{36}}$, $P(A_2)={\displaystyle \frac{3}{36}}$, $P(A_3)={\displaystyle \frac{2}{36}}$, $P(A_4)={\displaystyle \frac{1}{36}}$.

Per tant $$P(A)=P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)=$$ $$={\displaystyle \frac{4}{36}}+{\displaystyle \frac{3}{36}}+{\displaystyle \frac{2}{36}}+{\displaystyle \frac{1}{36}}={\displaystyle \frac{11}{36}}$$

b) Per calcular $P(B)$, tornem a fer com abans. Sigui

$B_1=$"sumar $1$", $B_2=$"sumar $2$", $B_3=$"sumar $3$".

Llavors, els casos possibles que compleixen cada un d'aquests successos són:

$B_1=\mathrm{\varnothing }$, ja que és un succés impossible. La tirada més petita que podríem treure és un $2$, és a dir, un $1$ en els dos daus, $1+1=2$.

$B_2=\{1-1\}$

$B_3=\{1-2,2-1\}$

Per tant $$P(B)=P(B_1\cup B_2\cup B_3)=$$ $$=0+{\displaystyle \frac{1}{36}}+{\displaystyle \frac{2}{36}}={\displaystyle \frac{3}{36}}={\displaystyle \frac{1}{12}}.$$

Com $B_1$ és un succés impossible, no té cap resultat favorable, i per tant, per la regla de Laplace, la seva probabilitat és $P(B_1)={\displaystyle \frac{0}{36}}=0$.

c) En aquest cas, podem veure quins són tots els esdeveniments que compleixen $C$, però és un mètode llarg. Podem resoldre més fàcilment si observem que $C=A\cup B$.

Podem calcular $$P(C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)={\displaystyle \frac{11}{36}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{14}{36}}={\displaystyle \frac{7}{18}}.$$

Solució:

a) $P(A)={\displaystyle \frac{11}{36}}$

b) $P(B)={\displaystyle \frac{1}{12}}$

c) $P(C)={\displaystyle \frac{7}{18}}$

Amagar desenvolupament i solució