Ejercicios de Regla de Laplace

Desarrollo:

Primero tenemos que describir nuestro espacio muestral. En cada dado puede salir un número entre $1$ y $6$, por lo que todos los resultados posibles son $$\mathrm{\Omega }=\{1-1,1-2,1-3,1-4,1-5,1-6,2-1,2-2,\dots \}$$

Notemos que habría $36$ elementos: lo podemos ver pensando que en el primer dado puede salir un número entre $1$ y $6$, y en el segundo lo mismo, por lo que en total hay $6\cdot 6=36$ maneras posibles.

Todos los casos son equiprobables, y por lo tanto la probabilidad de cada suceso elemental es de ${\displaystyle \frac{1}{36}}$, por la regla de Laplace.

a) Queremos ver cuáles son los resultados favorables a $A=$ "sacar más de un $8$". Los resultados que lo cumplen son todos los que suman $9$, los que suman $10$, los que suman $11$, y los que suman $12$.

No puede haber resultados más altos, puesto que la tirada máxima es de seis en los dos dados, es decir, $6+6=12$.

Así pues, estamos diciendo que $A=A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$, y tenemos que pensar qué sucesos cumplen lo siguiente:

$A_1=$"sumar $9$"$=\{3-6,4-5,5-4,6-3\}$, es decir, hay cuatro casos favorables.

$A_2=$"sumar $10$"$=\{4-6,5-5,6-4\}$, tres casos favorables.

$A_3=$"sumar $11$"$=\{5-6,6-5\}$, dos casos favorables.

$A_4=$"sumar $12$"$=\{6-6\}$, un caso favorable.

Como todos los sucesos son equiprobables, podemos aplicar la regla de Laplace,

$P(A_1)={\displaystyle \frac{4}{36}}$, $P(A_2)={\displaystyle \frac{3}{36}}$, $P(A_3)={\displaystyle \frac{2}{36}}$, $P(A_4)={\displaystyle \frac{1}{36}}$.

Por lo tanto $$P(A)=P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)=$$ $$={\displaystyle \frac{4}{36}}+{\displaystyle \frac{3}{36}}+{\displaystyle \frac{2}{36}}+{\displaystyle \frac{1}{36}}={\displaystyle \frac{11}{36}}$$

b) Para calcular $P(B)$, volvemos a hacer como antes. Sea

$B_1=$"sumar $1$", $B_2=$"sumar $2$", $B_3=$"sumar $3$".

Entonces, los casos posibles que cumplen cada uno de estos sucesos son:

$B_1=\mathrm{\varnothing }$, ya que es un suceso imposible. La menor tirada que podríamos sacar es $2$, es decir un uno en los dos dados, $1+1=2$.

$B_2=\{1-1\}$

$B_3=\{1-2,2-1\}$

Por lo tanto, $$P(B)=P(B_1\cup B_2\cup B_3)=$$ $$=0+{\displaystyle \frac{1}{36}}+{\displaystyle \frac{2}{36}}={\displaystyle \frac{3}{36}}={\displaystyle \frac{1}{12}}.$$

Como $B_1$ es un suceso imposible, no tiene ningún resultado favorable, y por lo tanto, por la regla de Laplace, su probabilidad es $P(B_1)={\displaystyle \frac{0}{36}}=0$.

c) En este caso, podemos ver cuáles son todos los sucesos que cumplen $C$, pero es un método largo. Podemos resolverlo más fácilmente si observamos que $C=A\cup B$.

Podemos calcular $$P(C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)={\displaystyle \frac{11}{36}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{14}{36}}={\displaystyle \frac{7}{18}}.$$

Solución:

a) $P(A)={\displaystyle \frac{11}{36}}$

b) $P(B)={\displaystyle \frac{1}{12}}$

c) $P(C)={\displaystyle \frac{7}{18}}$

Ocultar desarrollo y solución