Tiramos dos dados de seis caras. Sumando los dos resultados, queremos saber la probabilidad de:
a) $$A =$$ "obtener un total de más de $$8$$"
b) $$B =$$ "un total menor o igual que $$3$$"
c) $$C =$$ "un total de más de $$8$$, o menos o igual que $$3$$"
Desarrollo:
Primero tenemos que describir nuestro espacio muestral. En cada dado puede salir un número entre $$1$$ y $$6$$, por lo que todos los resultados posibles son $$$\Omega=\lbrace 1-1,1-2,1-3,1-4,1-5,1-6,2-1,2-2,\ldots \rbrace$$$
Notemos que habría $$36$$ elementos: lo podemos ver pensando que en el primer dado puede salir un número entre $$1$$ y $$6$$, y en el segundo lo mismo, por lo que en total hay $$6\cdot6=36$$ maneras posibles.
Todos los casos son equiprobables, y por lo tanto la probabilidad de cada suceso elemental es de $$\dfrac{1}{36}$$, por la regla de Laplace.
a) Queremos ver cuáles son los resultados favorables a $$A =$$ "sacar más de un $$8$$". Los resultados que lo cumplen son todos los que suman $$9$$, los que suman $$10$$, los que suman $$11$$, y los que suman $$12$$.
No puede haber resultados más altos, puesto que la tirada máxima es de seis en los dos dados, es decir, $$6+6=12$$.
Así pues, estamos diciendo que $$A=A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4$$, y tenemos que pensar qué sucesos cumplen lo siguiente:
$$A_1=$$"sumar $$9$$"$$=\lbrace 3-6,4-5,5-4,6-3 \rbrace$$, es decir, hay cuatro casos favorables.
$$A_2=$$"sumar $$10$$"$$=\lbrace 4-6,5-5,6-4 \rbrace$$, tres casos favorables.
$$A_3=$$"sumar $$11$$"$$=\lbrace 5-6,6-5 \rbrace$$, dos casos favorables.
$$A_4=$$"sumar $$12$$"$$=\lbrace 6-6 \rbrace$$, un caso favorable.
Como todos los sucesos son equiprobables, podemos aplicar la regla de Laplace,
$$P(A_1)=\dfrac{4}{36}$$, $$P(A_2)=\dfrac{3}{36}$$, $$P(A_3)=\dfrac{2}{36}$$, $$P(A_4)=\dfrac{1}{36}$$.
Por lo tanto $$$P(A)=P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4)=$$$ $$$=\dfrac{4}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{11}{36}$$$
b) Para calcular $$P(B)$$, volvemos a hacer como antes. Sea
$$B_1=$$"sumar $$1$$", $$B_2=$$"sumar $$2$$", $$B_3=$$"sumar $$3$$".
Entonces, los casos posibles que cumplen cada uno de estos sucesos son:
$$B_1=\emptyset$$, ya que es un suceso imposible. La menor tirada que podríamos sacar es $$2$$, es decir un uno en los dos dados, $$1+1=2$$.
$$B_2=\lbrace 1-1 \rbrace$$
$$B_3=\lbrace 1-2,2-1 \rbrace$$
Por lo tanto, $$$P(B)=P(B_1 \cup B_2 \cup B_3)=$$$ $$$=0+\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{36}=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}.$$$
Como $$B_1$$ es un suceso imposible, no tiene ningún resultado favorable, y por lo tanto, por la regla de Laplace, su probabilidad es $$P(B_1)=\dfrac{0}{36}=0$$.
c) En este caso, podemos ver cuáles son todos los sucesos que cumplen $$C$$, pero es un método largo. Podemos resolverlo más fácilmente si observamos que $$C=A \cup B$$.
Podemos calcular $$$P(C)=P(A \cup B)=P(A)+P(B)=\dfrac{11}{36}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}.$$$
Solución:
a) $$P(A)=\dfrac{11}{36}$$
b) $$P(B)=\dfrac{1}{12}$$
c) $$P(C)=\dfrac{7}{18}$$