Exercicis de Taules de contingència

Desenvolupament:

1) Primer, vam crear una taula de contingència per a representar les dades. Tenim dos successos, $R=$ "ser ros" i $G=$ "portar ulleres".

Posem en primer lloc les dades de l'enunciat.

	Ulleres	Sense ulleres	Total $G,\bar{G}$
Ros	4		12
No ros
Total $R,\bar{R}$	17		80

Ara l'anem completant. Sabem que hi ha en total $12$ rossos, i tan sols $4$ porten ulleres. Per tant, el nombre de rossos que no porten ulleres serà $12-4=8$. A més, en total hi ha $17$ que porten ulleres, i només $4$ són rossos i porten ulleres, per la qual cosa $17-4=13$ no són rossos i porten ulleres.

D'altra banda, al club hi ha un total de $80$ persones. Per tant, si $17$ porten ulleres, $1980-1917=63$ no porten ulleres. Si $12$ persones són rosses, llavors $80-12=68$ persones no ho són.

Introduïm totes aquestes dades a la taula de contingència.

	Ulleres	Sense ulleres	Total $G,\bar{G}$
Ros	4	8	12
No ros	13		68
Total $R,\bar{R}$	17	63	80

Finalment, si en total hi ha $63$ persones que no porten ulleres, i $8$ d'aquestes són rosses, llavors $63-8=55$ són rosses i sense ulleres.

També podríem haver calculat mirant a l'altra direcció: si en total hi ha $68$ persones que no són rosses, i $13$ d'aquestes porten ulleres, llavors $68-13=55$ persones no són rosses i no porten ulleres.

Així doncs, ja tenim la nostra taula de contingència completa.

	Ulleres	Sense ulleres	Total $G,\bar{G}$
Ros	4	8	12
No ros	13	55	68
Total $R,\bar{R}$	17	63	80

Amb la taula, ja podem respondre la pregunta.

La probabilitat que ens demanen és $P(\bar{R}\cap \bar{G})={\displaystyle \frac{55}{80}}$, per la llei de Laplace, ja que hi ha $55$ persones amb aquestes característiques d'entre el total de $80$ (i a totes és igual de probable que els toqui).

2) El calcularem amb la fórmula de les probabilitats condicionades. Volem calcular $P(R/\bar{G})={\displaystyle \frac{P(R\cap \bar{G})}{P(\bar{G})}}$. Mirant les dades a la taula, $$P(R\cap \bar{G})={\displaystyle \frac{8}{80}}$$ i $$P(\bar{G})={\displaystyle \frac{63}{80}}$$ Per tant $$P(R/\bar{G})={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{8}{80}}}{{\displaystyle \frac{63}{80}}}}={\displaystyle \frac{8}{63}}$$

Si ens fixem, com volem calcular la probabilitat que no porti Ulleres, mirem la columna "sense Ulleres" (vertical). En aquesta columna, $8$ són rossos d'un total de $63$, de manera que la probabilitat és ${\displaystyle \frac{8}{63}}$, de nou.

Solució:

1) $P(\bar{R}\cap \bar{G})={\displaystyle \frac{55}{80}}$

2) $P(R/\bar{G})={\displaystyle \frac{8}{63}}$

Amagar desenvolupament i solució