Taules de contingència

Fent una enquesta telefònica, hem preguntat a $$1000$$ persones si creien necessari que hi hagués més il·luminació al carrer a la nit.

Ens han contestat $$480$$ homes, dels quals $$324$$ han contestat que sí, i $$156$$ que no, i $$520$$ dones, de les quals $$351$$ han contestat que sí, i $$169$$ que no. Ens preguntem si homes i dones tenen una opinió diferent, o bé si és irrellevant per a la qüestió.

Per començar a resoldre el problema, el que hem fet és posar les dades en una taula:

Això és una versió reduïda d'una taula de contingència. Podem fer una taula de contingència completa si escrivim a cada costat de la taula les sumes de cada fila i cada columna:

És a dir, a la dreta, $$$480 = 324+156, \ 520 = 351+169$$$

D'altra banda, a la fila de baix, $$$324+351=675, 156+169=325$$$

Això són els totals parcials: en el nostre cas, a la dreta tenim el total d'homes que han contestat $$(480)$$ i el total de dones $$(520)$$, i avall, el total de persones que han contestat que sí $$(675)$$, i el total que ha contestat que no $$(325)$$.

Finalment, a la cantonada inferior dreta, que queda lliure, normalment posem la suma dels totals parcials, que es correspon, en el nostre cas, amb el nombre total de gent que ha contestat.

Si fem bé la taula, ha de donar el mateix sumar els totals parcials de la dreta i de baix. En el nostre cas, $$$1000= 480+520 = 675+325$$$

En una classe de $$35$$ alumnes hi ha $$4$$ nois esquerrans, $$20$$ noies, i un total de $$26$$ dretans.

Quina és la probabilitat de ser noia, i dretana?

Nota: suposem, per simplificar, que només es pot ser o dretà, o esquerrà.

Primer introduïm les dades de l'enunciat en la taula de contingència.

Com que hi ha un total de $$35$$ alumnes, i $$20$$ són noies, llavors $$35-20 = 15$$ són nois. Llavors, com dels $$15$$ nois, $$4$$ són esquerrans, $$15-4 = 11$$ són dretans. El introduïm a la taula.

Com que hi ha $$26$$ persones dretanes, i $$11$$ són nois, llavors hi ha $$26-11 = 15$$ noies dretanes. Per tant, la probabilitat de ser noia i dretana és de $$15/35$$.

Si volem, podem acabar de completar la taula.