Definició de probabilitat
"Demà és probable que plogui". "Al tirar un dau, és més probable treure un nombre més gran que quatre que no un 1". "És probable que aquest tema entri a l'examen". "És poc probable que et toqui la loteria".
Tots tenim una noció intuïtiva de probabilitat, però què és exactament? Encara que des de fa segles ens hem preguntat com funciona l'atzar, o si és possible predir el futur, no va ser fins al segle XVI, amb el treball de Cardano i Tartaglia quan es van començar a fer avenços en resoldre matemàticament aquests problemes.
La probabilitat tal com l'entenem avui va néixer el segle XVII, quan Pierre de Fermat i Blaise Pascal es van enviar una sèrie de cartes on intentaven solucionar un problema relacionat amb els jocs d'apostes. En elles, van intentar buscar mètodes i una notació matemàtica per a resoldre problemes relacionats amb la probabilitat.
Podem pensar què és la probabilitat amb el següent exemple.
Exemple
Agafem un dau i anem apuntant quants quatres surten quan el tirem
Tirades | Número de quatres |
Ara fixem-nos en la proporció de quatre respecte al total de tirades que hem fet:
Després d'aquest experiment podem preguntar: "si torno a tirar el dau, quina probabilitat hi ha que surti un quatre?"
És veritat que el resultat de la tirada dependrà de l'atzar, però hem observat que si fem moltes tirades, el normal és que surti un quatre unes
De fet, si ho pensem una mica, com un dau té
Això serà la base de la llei de Laplace.
Espai mostral i successos
Un problema comença: "Tirem un dau ..." o bé "Tirem una moneda ..." Què fem? El primer, hem de saber quins resultats poden sortir:
En el cas de la moneda, pot sortir''cara''(
Si tirem un dau, "
Per descomptat, els successos elementals depenen de cada problema. Si tirem una moneda dues vegades, es que els resultats poden ser "
Fins i tot podem pensar que el nostre experiment és sortir al carrer i mirar el primer home que trobem: els nostres successos elementals seran si porta "barba", "barba i bigoti", "només bigoti", o bé està "afaitat".
Al conjunt de tots els resultats possibles s'anomena espai mostral, i es representa habitualment amb la lletra grega
Així, en els quatre exemples anteriors, l'espai mostral seria:
Exemple
Seguim ara amb l'enunciat. "Tirem un dau. Quina és la probabilitat que surti un quatre?"
El que ens interessa considerar, en aquest cas, "que surti un quatre", és el que anomenem successos, que són subconjunts de l'espai mostral.
Així doncs, en aquest cas el nostre espai mostral és
També podríem haver considerat altres successos, com per exemple, treure un nombre parell. Llavors, el nostre succés
Podem pensar que els successos són els resultats que volem considerar entre tots els resultats possibles, és a dir, entre tot l'espai mostral.
Succés segur i succés impossible
Un succés segur és aquell que conté tot l'espai mostral. Per exemple, en el nostre experiment de tirar un dau i mirar el resultat, el succés
Pot ser que no sempre sigui evident si un succés és segur.
Exemple
Per exemple, suposem que llencem dues monedes, i volem saber si el succés
Primer: escrivim l'espai mostral.
Segon: escrivim el nostre succés. Per quins successos elementals està format? Si ho pensem, veiem que de fet és un succés segur, ja que, si surt "
Un succés impossible és el cas contrari, quan el succés no conté cap element de l'espai mostral.
Per posar un exemple, és el succés
Normalment, aquests successos es representen amb
Vegem alguns exemples:
Exemple
Tenim tres urnes, cadascuna de les quals té boles blanques i negres. Extraiem una bola de cada urna, i mirem el seu color.
- Descriure l'espai mostral de l'experiment.
- Descriure el succés
"treure una sola bola blanca"
1
Considerarem
Com que traiem una bola de cada urna, cada succés elemental del nostre experiment consisteix en tres boles, que poden ser blanques o negres. És a dir,
Segons el que ens interessi calcular, no seria incorrecte considerar que els nostres successos elementals estan desordenats, i només ens importa el nombre total de boles blanques i negres que hem tret. En aquest cas, el nostre espai mostral seria
2
Podem treure una bola blanca en qualsevol de les tres urnes. Per tant, tots els esdeveniments que ens interessen són:
Exemple
Llancem un dau de vuit cares. Si surt un un, tornem a tirar el dau una sola vegada més, i sumem els resultats.
- Quin és l'espai mostral d'aquest experiment?
- Descriu els successos
"treure un nombre més petit que ", "treure un cinc o un sis", "treure un múltiple de tres"
1
Quan llancem un dau de vuit cares, els resultats que ens poden sortir són
Ara bé, en el nostre experiment, quan ens surt un un, tornem a tirar el dau, i de nou podem obtenir un nombre entre
El resultat més petit que podem obtenir és un
Fixem-nos que "
2
No podem obtenir un resultat estrictament menor que
Els esdeveniments que compleixen
Per calcular