Definició de probabilitat
"Demà és probable que plogui". "Al tirar un dau, és més probable treure un nombre més gran que quatre que no un 1". "És probable que aquest tema entri a l'examen". "És poc probable que et toqui la loteria".
Tots tenim una noció intuïtiva de probabilitat, però què és exactament? Encara que des de fa segles ens hem preguntat com funciona l'atzar, o si és possible predir el futur, no va ser fins al segle XVI, amb el treball de Cardano i Tartaglia quan es van començar a fer avenços en resoldre matemàticament aquests problemes.
La probabilitat tal com l'entenem avui va néixer el segle XVII, quan Pierre de Fermat i Blaise Pascal es van enviar una sèrie de cartes on intentaven solucionar un problema relacionat amb els jocs d'apostes. En elles, van intentar buscar mètodes i una notació matemàtica per a resoldre problemes relacionats amb la probabilitat.
Podem pensar què és la probabilitat amb el següent exemple.
Agafem un dau i anem apuntant quants quatres surten quan el tirem $$5, 10, 20, 50$$ i $$100$$ vegades. Suposem que ens surt el següent:
| Tirades | Número de quatres |
| $$5$$ | $$2$$ |
| $$10$$ | $$3$$ |
| $$20$$ | $$5$$ |
| $$50$$ | $$8$$ |
| $$100$$ | $$17$$ |
Ara fixem-nos en la proporció de quatre respecte al total de tirades que hem fet:
$$$\dfrac{2}{5}=0'4, \ \dfrac{3}{10}=0'3, \ \dfrac{5}{20}=0'25, \ \dfrac{8}{50}=0'16, \ \dfrac{17}{100}=0'17$$$
Després d'aquest experiment podem preguntar: "si torno a tirar el dau, quina probabilitat hi ha que surti un quatre?"
És veritat que el resultat de la tirada dependrà de l'atzar, però hem observat que si fem moltes tirades, el normal és que surti un quatre unes $$17$$ vegades de cada $$100$$. Per tant, diem que la probabilitat és aproximadament del $$17\%$$, o el que és el mateix, de $$0'17$$.
De fet, si ho pensem una mica, com un dau té $$6$$ cares, i totes és igual de probable que surtin, és d'esperar que de cada $$6$$ tirades, una sigui un quatre, és a dir, creiem que la probabilitat hauria de ser $$$\dfrac{1}{6}=0'1\widehat{6}=0'1666\ldots$$$
Això serà la base de la llei de Laplace.
Espai mostral i successos
Un problema comença: "Tirem un dau ..." o bé "Tirem una moneda ..." Què fem? El primer, hem de saber quins resultats poden sortir:
En el cas de la moneda, pot sortir''cara''($$C$$) o''creu''($$+$$).
Si tirem un dau, "$$1$$", "$$2$$", "$$3$$", "$$4$$", "$$5$$" o "$$6$$". Aquests són els resultats possibles, també anomenats successos elementals.
Per descomptat, els successos elementals depenen de cada problema. Si tirem una moneda dues vegades, es que els resultats poden ser "$$cc$$", "$$c +$$", "$$+ c$$", "$$++$$": a l'esquerra el resultat de la primera tirada, a la dreta el de la segona.
Fins i tot podem pensar que el nostre experiment és sortir al carrer i mirar el primer home que trobem: els nostres successos elementals seran si porta "barba", "barba i bigoti", "només bigoti", o bé està "afaitat".
Al conjunt de tots els resultats possibles s'anomena espai mostral, i es representa habitualment amb la lletra grega $$\Omega$$.
Així, en els quatre exemples anteriors, l'espai mostral seria:
$$\Omega=\lbrace \mbox{cara,creu} \rbrace = \lbrace c,+ \rbrace$$
$$\Omega=\lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace$$
$$\Omega=\lbrace (c,c), \ (c,+), \ (+,c), \ (+,+) \rbrace$$, que per simplificar podem escriure $$\Omega=\lbrace cc, \ c+, \ +c, \ ++\rbrace$$
$$\Omega=\lbrace \mbox{barba, barba i bigoti, bigoti, afaitat} \rbrace$$
Seguim ara amb l'enunciat. "Tirem un dau. Quina és la probabilitat que surti un quatre?"
El que ens interessa considerar, en aquest cas, "que surti un quatre", és el que anomenem successos, que són subconjunts de l'espai mostral.
Així doncs, en aquest cas el nostre espai mostral és $$\Omega= \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace$$, i el nostre succés $$A=\mbox{"treure un quatre"}=\lbrace 4 \rbrace$$.
També podríem haver considerat altres successos, com per exemple, treure un nombre parell. Llavors, el nostre succés $$B=\mbox{"treure un nombre parell"}=\lbrace 2,4,6 \rbrace$$. Si el succés fora "treure un tres o cinc", llavors, $$C=\mbox{"treure un tres o un cinc"}=\lbrace 3,5 \rbrace$$.
Podem pensar que els successos són els resultats que volem considerar entre tots els resultats possibles, és a dir, entre tot l'espai mostral.
Succés segur i succés impossible
Un succés segur és aquell que conté tot l'espai mostral. Per exemple, en el nostre experiment de tirar un dau i mirar el resultat, el succés $$A=\mbox{"treure un nombre menor o igual a "} 6$$ és un succés segur, ja que, surti el que surti, sempre el resultat serà menor o igual que $$6$$. També seria un succés segur $$B=\mbox{"treure un nombre menor o igual a} \ 2 \mbox{ o més gran o igual que } 3"$$. Pel mateix motiu, fixa't que $$A=B=\lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace = \Omega $$.
Pot ser que no sempre sigui evident si un succés és segur.
Per exemple, suposem que llencem dues monedes, i volem saber si el succés $$C="\mbox{treure cara en una de les dues monedes, o bé treure en les dues el mateix}"$$ és un succés segur.
Primer: escrivim l'espai mostral. $$\Omega=\lbrace cc, \ c+, \ +c, \ ++\rbrace$$
Segon: escrivim el nostre succés. Per quins successos elementals està format? Si ho pensem, veiem que de fet és un succés segur, ja que, si surt "$$cc$$" o "$$++$$", llavors en les dues monedes traiem el mateix, i en els altres dos casos possibles, "$$c +$$" i "$$+ c$$ ", traiem cara en una de les dues monedes. És a dir, surti el resultat que surti, sempre es complirà $$C$$.
Un succés impossible és el cas contrari, quan el succés no conté cap element de l'espai mostral.
Per posar un exemple, és el succés $$A="\mbox{treure un } 7"$$ en tirar un dau de sis cares, o bé $$B="\mbox{treure una bola blanca}"$$ d'un recipient que només contingui boles negres.
Normalment, aquests successos es representen amb $$A=B=\emptyset$$, que és el conjunt buit, o el que és el mateix, estem dient que no hi ha cap resultat possible que compleixi el succés.
Vegem alguns exemples:
Tenim tres urnes, cadascuna de les quals té boles blanques i negres. Extraiem una bola de cada urna, i mirem el seu color.
- Descriure l'espai mostral de l'experiment.
- Descriure el succés $$A=$$"treure una sola bola blanca"
1
Considerarem $$B=$$"bola blanca", $$N=$$"bola negra".
Com que traiem una bola de cada urna, cada succés elemental del nostre experiment consisteix en tres boles, que poden ser blanques o negres. És a dir, $$\Omega=\lbrace BBB,BBN,BNB,BNN,NBB,NBN,NNB,NNN \rbrace$$, on "BBN" vol dir: "treure una bola blanca a la primera urna, blanca en la segona, i negra a la tercera".
Segons el que ens interessi calcular, no seria incorrecte considerar que els nostres successos elementals estan desordenats, i només ens importa el nombre total de boles blanques i negres que hem tret. En aquest cas, el nostre espai mostral seria $$\Omega'=\lbrace BBB,BBN,BNN,NNN \rbrace$$, on ara "BBN" només vol dir: "treure dues boles blanques i una negra", però normalment no seguirem aquesta forma de calcular-ho, ja que pot portar a problemes a l'hora de comptar probabilitats.
2
Podem treure una bola blanca en qualsevol de les tres urnes. Per tant, tots els esdeveniments que ens interessen són: $$BNN, NBN, NNB$$. És a dir, $$A= \lbrace BNN, NBN, NNB \rbrace$$.
Llancem un dau de vuit cares. Si surt un un, tornem a tirar el dau una sola vegada més, i sumem els resultats.
- Quin és l'espai mostral d'aquest experiment?
- Descriu els successos $$A =$$ "treure un nombre més petit que $$2$$", $$B =$$ "treure un cinc o un sis", $$C =$$ "treure un múltiple de tres"
1
Quan llancem un dau de vuit cares, els resultats que ens poden sortir són $$\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8 \rbrace$$.
Ara bé, en el nostre experiment, quan ens surt un un, tornem a tirar el dau, i de nou podem obtenir un nombre entre $$1$$ i $$8$$.
El resultat més petit que podem obtenir és un $$2$$ (si traiem un $$1$$ la primera vegada, i un altre $$1$$ la segona), i el resultat més gran és $$9$$ (si traiem un $$1$$ la primera vegada, i un vuit la segona). Per tant, el nostre espai mostral és $$\Omega=\lbrace 2,3,4,5,6,7,8,9 \rbrace $$.
Fixem-nos que "$$1$$" no és un succés elemental del nostre experiment, ja que mai podrem obtenir un total d'un, sumant les dues tirades.
2
No podem obtenir un resultat estrictament menor que $$2$$, per la qual cosa $$A=\emptyset$$. És a dir, $$A$$ és un succés impossible.
Els esdeveniments que compleixen $$B$$ són el $$5$$ i el $$6$$, ja que si surt qualsevol dels dos, es compleix el succés. Per tant, $$B=\lbrace 5,6 \rbrace$$.
Per calcular $$C$$, hem de mirar quins són els múltiples de tres del nostre espai mostral. En el nostre cas, tenim $$3,6,9$$. Per tant, $$C=\lbrace 3,6,9 \rbrace$$.