Tenim una urna amb catorze boles: set boles vermelles, numerades de l'$$1$$ al $$7$$, tres grogues, numerades del $$8$$ al $$10$$, i quatre blaves, numerades del $$11$$ al $$14$$. El nostre experiment consisteix en treure una bola i observar el seu número i el seu color.
- Determina l'espai mostral.
- Considera els successos $$A =$$"treure un nombre major o igual que $$9$$", $$B =$$"treure un nombre parell". Defineix quins successos elementals formen $$A$$ i $$B$$.
- Defineix quins successos elementals formen els successos $$C =$$ "treure una bola groga o blava", $$D =$$"treure una bola blava o amb número múltiple de $$3$$".
- Defineix quins successos elementals formen els successos $$E =$$ "treure una bola vermella i amb número menor que $$4$$", $$F =$$"treure una bola groga i amb número més gran que $$11$$".
Desenvolupament:
1) L'espai mostral és el conjunt de tots els resultats possibles.
En el nostre cas, tenim
$$$\Omega=\lbrace R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$$
on $$R$$ indica que la bola és vermella, $$A$$ que és groga, i $$V$$ que és blava.
2) Els esdeveniments que ens interessen són tots els successos elementals que tinguin un nombre major o igual que $$9$$. Per tant, $$$A=\lbrace A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$$ En el segon cas, només ens interessen els que tenen nombre parell. És a dir, $$$B=\lbrace R2,R4,R6,A8,A10,V12,V14 \rbrace$$$
3) El nostre succés el formen tots els successos elementals que tenen una bola groga, o bé una bola blava. Els que tenen bola groga són $$\lbrace A8,A9,A10 \rbrace$$, i els que tenen bola blava són $$\lbrace V11, V12, V13, V14 \rbrace$$.
Per tant, el nostre succés està format per $$C=\lbrace A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$.
Ara considerem el succés $$D$$. Els que tenen bola blava són $$\lbrace V11,V12,V13,V14 \rbrace$$, i els múltiples de $$3$$, entre el número $$1$$ i $$14$$, són: $$3,6,9,12$$. Per tant, les boles que ens interessen són $$\lbrace R3,R6,A9,V12 \rbrace$$. Així doncs, tenim que $$D=\lbrace R3,R6,A9,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$.
Si ens n'adonem, la bola $$V12$$ en realitat compleix les dues condicions: és blava i a més el seu nombre és múltiple de $$3$$. Això no és cap problema, cal escriure en $$D$$ els resultats que compleixen les condicions, i $$V12$$ les compleix, ja que compleix com a mínim una de les dues condicions.
4) Tenim $$8$$ boles vermelles, que són $$\lbrace R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8 \rbrace$$. Entre elles, les que tenen nombre menor que quatre són $$E=\lbrace R1,R2,R3 \rbrace$$. També ho podríem haver fet al revés: primer pensem quines són les boles que tenen nombre menor que quatre (en el nostre cas, $$\lbrace R1,R2,R3 \rbrace$$), i com d'elles, totes són vermelles, el nostre succés torna a ser $$E = \lbrace R1, R2, R3 \rbrace$$.
Podem començar considerant les boles que tenim grogues: $$\lbrace A8, A9, A10 \rbrace$$. Entre elles, no hi ha cap que tingui nombre més gran que $$11$$. Per tant, no hi ha cap esdeveniment elemental que compleixi la condició, és a dir, $$F=\emptyset$$. En altres paraules, $$F$$ és un succés impossible, mai no es pot complir.
Solució:
- $$\Omega=\lbrace R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$.
- $$A=\lbrace A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$, $$B=\lbrace R2,R4,R6,A8,A10,V12,V14 \rbrace$$.
- $$C=\lbrace A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$, $$D=\lbrace R3,R6,A9,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$.
- $$E=\lbrace R1,R2,R3 \rbrace$$, $$F=\emptyset$$.