Exercicis de Definició de probabilitat, espai mostral i succés segur i impossible

Tenim una urna amb catorze boles: set boles vermelles, numerades de l' $1$ al $7$ , tres grogues, numerades del $8$ al $10$ , i quatre blaves, numerades del $11$ al $14$ . El nostre experiment consisteix en treure una bola i observar el seu número i el seu color.

Determina l'espai mostral.
Considera els successos $A =$ "treure un nombre major o igual que $9$ ", $B =$ "treure un nombre parell". Defineix quins successos elementals formen $A$ i $B$ .
Defineix quins successos elementals formen els successos $C =$ "treure una bola groga o blava", $D =$ "treure una bola blava o amb número múltiple de $3$ ".
Defineix quins successos elementals formen els successos $E =$ "treure una bola vermella i amb número menor que $4$ ", $F =$ "treure una bola groga i amb número més gran que $11$ ".

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

1) L'espai mostral és el conjunt de tots els resultats possibles. En el nostre cas, tenim
$Ω = {R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6, R 7, A 8, A 9, A 10, V 11, V 12, V 13, V 14}$ on $R$ indica que la bola és vermella, $A$ que és groga, i $V$ que és blava.

2) Els esdeveniments que ens interessen són tots els successos elementals que tinguin un nombre major o igual que $9$ . Per tant, $A = {A 9, A 10, V 11, V 12, V 13, V 14}$ En el segon cas, només ens interessen els que tenen nombre parell. És a dir, $B = {R 2, R 4, R 6, A 8, A 10, V 12, V 14}$

3) El nostre succés el formen tots els successos elementals que tenen una bola groga, o bé una bola blava. Els que tenen bola groga són ${A 8, A 9, A 10}$ , i els que tenen bola blava són ${V 11, V 12, V 13, V 14}$ .

Per tant, el nostre succés està format per $C = {A 8, A 9, A 10, V 11, V 12, V 13, V 14}$ .

Ara considerem el succés $D$ . Els que tenen bola blava són ${V 11, V 12, V 13, V 14}$ , i els múltiples de $3$ , entre el número $1$ i $14$ , són: $3, 6, 9, 12$ . Per tant, les boles que ens interessen són ${R 3, R 6, A 9, V 12}$ . Així doncs, tenim que $D = {R 3, R 6, A 9, V 11, V 12, V 13, V 14}$ .

Si ens n'adonem, la bola $V 12$ en realitat compleix les dues condicions: és blava i a més el seu nombre és múltiple de $3$ . Això no és cap problema, cal escriure en $D$ els resultats que compleixen les condicions, i $V 12$ les compleix, ja que compleix com a mínim una de les dues condicions.

4) Tenim $8$ boles vermelles, que són ${R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6, R 7, R 8}$ . Entre elles, les que tenen nombre menor que quatre són $E = {R 1, R 2, R 3}$ . També ho podríem haver fet al revés: primer pensem quines són les boles que tenen nombre menor que quatre (en el nostre cas, ${R 1, R 2, R 3}$ ), i com d'elles, totes són vermelles, el nostre succés torna a ser $E = {R 1, R 2, R 3}$ .

Podem començar considerant les boles que tenim grogues: ${A 8, A 9, A 10}$ . Entre elles, no hi ha cap que tingui nombre més gran que $11$ . Per tant, no hi ha cap esdeveniment elemental que compleixi la condició, és a dir, $F = \emptyset$ . En altres paraules, $F$ és un succés impossible, mai no es pot complir.

Solució:

$Ω = {R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6, R 7, A 8, A 9, A 10, V 11, V 12, V 13, V 14}$ .
$A = {A 9, A 10, V 11, V 12, V 13, V 14}$ , $B = {R 2, R 4, R 6, A 8, A 10, V 12, V 14}$ .
$C = {A 8, A 9, A 10, V 11, V 12, V 13, V 14}$ , $D = {R 3, R 6, A 9, V 11, V 12, V 13, V 14}$ .
$E = {R 1, R 2, R 3}$ , $F = \emptyset$ .

Amagar desenvolupament i solució