Ejercicios de Definición de probabilidad, espacio muestral y suceso seguro e imposible

Tenemos una urna con catorce bolas: siete bolas rojas, numeradas del $1$ al $7$ , tres amarillas, numeradas del $8$ al $10$ , y cuatro violetas, numeradas del $11$ al $14$ . Nuestro experimento consiste en sacar una bola y observar su número y su color.

Determina el espacio muestral.
Considera los sucesos $A =$ "sacar un número mayor o igual que $9$ " , $B =$ "sacar un número par". Define qué sucesos elementales forman $A$ y $B$ .
Define qué sucesos elementales forman los sucesos $C =$ "sacar una bola amarilla o violeta", $D =$ "sacar una bola violeta o con número múltiplo de $3$ ".
Define qué sucesos elementales forman los sucesos $E =$ "sacar una bola roja y con número menor que $4$ ", $F =$ "sacar una bola amarilla y con número mayor que $11$ ".

Ver desarrollo y solución

Desarrollo:

1) El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. En nuestro caso, tenemos $Ω = {R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6, R 7, A 8, A 9, A 10, V 11, V 12, V 13, V 14}$ donde $R$ indica que la bola es roja, $A$ que es amarilla, y $V$ que es violeta.

2) Los sucesos que nos interesan son todos los sucesos elementales que tengan un número mayor o igual que $9$ . Por lo tanto, $A = {A 9, A 10, V 11, V 12, V 13, V 14}$ En el segundo caso, tan sólo nos interesan los que tienen número par. Es decir, $B = {R 2, R 4, R 6, A 8, A 10, V 12, V 14}$

3) Nuestro suceso lo forman todos los sucesos elementales que tienen una bola amarilla, o bien una bola violeta. Los que tienen bola amarilla son ${A 8, A 9, A 10}$ , y los que tienen bola violeta son ${V 11, V 12, V 13, V 14}$ .

Por lo tanto, nuestro suceso está formado por $C = {A 8, A 9, A 10, V 11, V 12, V 13, V 14}$ .

Ahora consideremos el suceso $D$ . Los que tienen bola violeta son ${V 11, V 12, V 13, V 14}$ , y los múltiplos de $3$ , entre el número $1$ y $14$ , son: $3, 6, 9, 12$ . Por lo tanto, las bolas que nos interesan son ${R 3, R 6, A 9, V 12}$ . Así pues, tenemos que $D = {R 3, R 6, A 9, V 11, V 12, V 13, V 14}$ .

Si nos damos cuenta, la bola $V 12$ en realidad cumple las dos condiciones: es violeta y además su número es múltiplo de $3$ . Esto no es ningún problema, debemos escribir en $D$ los resultados que cumplen las condiciones, y $V 12$ las cumple, ya que cumple como mínimo una de las dos condiciones.

4) Tenemos $8$ bolas rojas, que son ${R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6, R 7, R 8}$ . De entre ellas, las que tienen número menor que cuatro son $E = {R 1, R 2, R 3}$ . También lo podríamos haber hecho al revés: primero pensamos cuáles son las bolas que tienen número menor que cuatro (en nuestro caso, ${R 1, R 2, R 3}$ ), y como de ellas, todas son rojas, nuestro suceso vuelve a ser $E = {R 1, R 2, R 3}$ .

Podemos empezar considerando las bolas que tenemos amarillas: ${A 8, A 9, A 10}$ . De entre ellas, no hay ninguna que tenga número mayor que $11$ . Por lo tanto, no hay ningún suceso elemental que cumpla la condición, es decir, $F = \emptyset$ . En otras palabras, $F$ es un suceso imposible, nunca se puede cumplir.

Solución:

$Ω = {R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6, R 7, A 8, A 9, A 10, V 11, V 12, V 13, V 14}$ .
$A = {A 9, A 10, V 11, V 12, V 13, V 14}$ , $B = {R 2, R 4, R 6, A 8, A 10, V 12, V 14}$ .
$C = {A 8, A 9, A 10, V 11, V 12, V 13, V 14}$ , $D = {R 3, R 6, A 9, V 11, V 12, V 13, V 14}$ .
$E = {R 1, R 2, R 3}$ , $F = \emptyset$ .

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