Tenemos una urna con catorce bolas: siete bolas rojas, numeradas del $$1$$ al $$7$$, tres amarillas, numeradas del $$8$$ al $$10$$, y cuatro violetas, numeradas del $$11$$ al $$14$$. Nuestro experimento consiste en sacar una bola y observar su número y su color.
- Determina el espacio muestral.
- Considera los sucesos $$A =$$"sacar un número mayor o igual que $$9$$" , $$B =$$"sacar un número par". Define qué sucesos elementales forman $$A$$ y $$B$$.
- Define qué sucesos elementales forman los sucesos $$C=$$"sacar una bola amarilla o violeta", $$D=$$"sacar una bola violeta o con número múltiplo de $$3$$".
- Define qué sucesos elementales forman los sucesos $$E=$$"sacar una bola roja y con número menor que $$4$$", $$F=$$"sacar una bola amarilla y con número mayor que $$11$$".
Desarrollo:
1) El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. En nuestro caso, tenemos $$$\Omega=\lbrace R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$$ donde $$R$$ indica que la bola es roja, $$A$$ que es amarilla, y $$V$$ que es violeta.
2) Los sucesos que nos interesan son todos los sucesos elementales que tengan un número mayor o igual que $$9$$. Por lo tanto, $$$A=\lbrace A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$$ En el segundo caso, tan sólo nos interesan los que tienen número par. Es decir, $$$B=\lbrace R2,R4,R6,A8,A10,V12,V14 \rbrace$$$
3) Nuestro suceso lo forman todos los sucesos elementales que tienen una bola amarilla, o bien una bola violeta. Los que tienen bola amarilla son $$\lbrace A8,A9,A10 \rbrace$$, y los que tienen bola violeta son $$\lbrace V11, V12, V13, V14 \rbrace$$.
Por lo tanto, nuestro suceso está formado por $$C=\lbrace A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$.
Ahora consideremos el suceso $$D$$. Los que tienen bola violeta son $$\lbrace V11,V12,V13,V14 \rbrace$$, y los múltiplos de $$3$$, entre el número $$1$$ y $$14$$, son: $$3,6,9,12$$. Por lo tanto, las bolas que nos interesan son $$\lbrace R3,R6,A9,V12 \rbrace$$. Así pues, tenemos que $$D=\lbrace R3,R6,A9,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$.
Si nos damos cuenta, la bola $$V12$$ en realidad cumple las dos condiciones: es violeta y además su número es múltiplo de $$3$$. Esto no es ningún problema, debemos escribir en $$D$$ los resultados que cumplen las condiciones, y $$V12$$ las cumple, ya que cumple como mínimo una de las dos condiciones.
4) Tenemos $$8$$ bolas rojas, que son $$\lbrace R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8 \rbrace$$. De entre ellas, las que tienen número menor que cuatro son $$E=\lbrace R1,R2,R3 \rbrace$$. También lo podríamos haber hecho al revés: primero pensamos cuáles son las bolas que tienen número menor que cuatro (en nuestro caso, $$\lbrace R1,R2,R3 \rbrace$$), y como de ellas, todas son rojas, nuestro suceso vuelve a ser $$E = \lbrace R1, R2, R3 \rbrace$$.
Podemos empezar considerando las bolas que tenemos amarillas: $$\lbrace A8, A9, A10 \rbrace$$. De entre ellas, no hay ninguna que tenga número mayor que $$11$$. Por lo tanto, no hay ningún suceso elemental que cumpla la condición, es decir, $$F=\emptyset$$. En otras palabras, $$F$$ es un suceso imposible, nunca se puede cumplir.
Solución:
- $$\Omega=\lbrace R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$.
- $$A=\lbrace A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$, $$B=\lbrace R2,R4,R6,A8,A10,V12,V14 \rbrace$$.
- $$C=\lbrace A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$, $$D=\lbrace R3,R6,A9,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$.
- $$E=\lbrace R1,R2,R3 \rbrace$$, $$F=\emptyset$$.