Successos dependents i independents

Per exemple, si volem calcular la probabilitat que en llençar un dau surti un $$6$$, ja sabem, per la regla de Laplace, que la probabilitat és $$\dfrac{1}{6}$$.

Tanmateix, si disposem de la informació que el resultat ha estat un nombre parell, llavors només hi ha tres possibilitats: $$2, 4$$ i $$6$$, de manera que la probabilitat passa a ser més alta, d'$$\dfrac{1}{3}$$.

Considerem els successos $$A=$$"treure un $$6$$", $$B=$$"treure un número parell".

Hem raonat que és lògic que si sabem que ha sortit parell, llavors la probabilitat que hagi sortit un sis és superior a la que seria si no disposéssim d'aquesta informació.

Comprovem-ho:

Sabem que $$P(B) = \dfrac{1}{2}$$, per la regla de Laplace, i

$$$P(A\cap B)=\mbox{"probabilitat de treure un }6 \mbox{ i treure un número parell"}=$$$ $$$=\mbox{"probabilitat de treure un }6"=\dfrac{1}{6}$$$

$$$P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{3}$$$

En particular, hem comprovat que els nostres successos $$A$$ i $$B$$ són dependents, ja que $$P (A / B)$$ és diferent de $$P (A)$$.

Fent una enquesta telefònica, hem preguntat a $$1000$$ persones si creien necessari que hi hagués més il·luminació al carrer a la nit.

Ens han contestat $$480$$ homes, dels quals $$324$$ han contestat que sí, i $$156$$ que no, i $$520$$ dones, de les quals $$351$$ han contestat que sí, i $$169$$ que no. Ens preguntem si homes i dones tenen una opinió diferent, o bé si és irrellevant per a la qüestió.

Per veure més clarament el que ens diuen, el millor és posar les dades en una taula:

Considerem els successos $$A =$$"voler més llum (haver contestat sí)", $$B =$$"que hi hagi contestat un home".

Ens preguntem si $$A$$ i $$B$$ són independents, és a dir, si el fet de voler més llum depèn de si s'és home o dona.

Calculem les probabilitats:

$$$P(A)=\dfrac{324+351}{1000}=\dfrac{675}{1000}$$$ per la regla de Laplace (són tots els que han contestat que sí, sumant homes i dones).

$$$P(B)=\dfrac{480}{1000}$$$ els homes que ens han contestat entre el total de trucades.

$$$P(A\cap B)=\dfrac{324}{1000}$$$ els que són homes i han contestat que sí.

Es compleix que $$$\dfrac{324}{1000}=\dfrac{675}{1000}\cdot \dfrac{480}{1000}$$$ és a dir que $$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$$ de manera que els successos són independents. En altres paraules, el fet de ser home o dona no ha influït per saber si volen o no més llum.