Successos dependents i independents

Exemple

Per exemple, si volem calcular la probabilitat que en llençar un dau surti un $6$, ja sabem, per la regla de Laplace, que la probabilitat és ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.

Tanmateix, si disposem de la informació que el resultat ha estat un nombre parell, llavors només hi ha tres possibilitats: $2,4$ i $6$, de manera que la probabilitat passa a ser més alta, d'${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Considerem els successos $A=$"treure un $6$", $B=$"treure un número parell".

Hem raonat que és lògic que si sabem que ha sortit parell, llavors la probabilitat que hagi sortit un sis és superior a la que seria si no disposéssim d'aquesta informació.

Comprovem-ho:

Sabem que $P(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, per la regla de Laplace, i

$$P(A\cap B)=\text{"probabilitat de treure un }6\text{ i treure un número parell"}=$$ $$=\text{"probabilitat de treure un }6"={\displaystyle \frac{1}{6}}$$

$$P(A/B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{6}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

En particular, hem comprovat que els nostres successos $A$ i $B$ són dependents, ja que $P(A/B)$ és diferent de $P(A)$.

Exemple

Fent una enquesta telefònica, hem preguntat a $1000$ persones si creien necessari que hi hagués més il·luminació al carrer a la nit.

Ens han contestat $480$ homes, dels quals $324$ han contestat que sí, i $156$ que no, i $520$ dones, de les quals $351$ han contestat que sí, i $169$ que no. Ens preguntem si homes i dones tenen una opinió diferent, o bé si és irrellevant per a la qüestió.

Per veure més clarament el que ens diuen, el millor és posar les dades en una taula:

Considerem els successos $A=$"voler més llum (haver contestat sí)", $B=$"que hi hagi contestat un home".

Ens preguntem si $A$ i $B$ són independents, és a dir, si el fet de voler més llum depèn de si s'és home o dona.

Calculem les probabilitats:

$$P(A)={\displaystyle \frac{324+351}{1000}}={\displaystyle \frac{675}{1000}}$$ per la regla de Laplace (són tots els que han contestat que sí, sumant homes i dones).

$$P(B)={\displaystyle \frac{480}{1000}}$$ els homes que ens han contestat entre el total de trucades.

$$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{324}{1000}}$$ els que són homes i han contestat que sí.

Es compleix que $${\displaystyle \frac{324}{1000}}={\displaystyle \frac{675}{1000}}\cdot {\displaystyle \frac{480}{1000}}$$ és a dir que $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$ de manera que els successos són independents. En altres paraules, el fet de ser home o dona no ha influït per saber si volen o no més llum.