Sucesos dependientes e independientes

Ejemplo

Por ejemplo, si queremos calcular la probabilidad de que al tirar un dado salga un $6$, sabemos por la regla de Laplace, que la probabilidad es de ${\displaystyle \frac{1}{6}}$. Sin embargo, si disponemos de la información de que el resultado ha sido un número par, entonces tan sólo hay tres posibilidades: $2,4$ y $6$, por lo que la probabilidad pasa a ser más alta, de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Consideremos los sucesos $A=$"sacar un $6$", $B=$"sacar un número par".

Hemos razonado que es lógico que si sabemos que ha salido par, entonces la probabilidad de que haya salido un seis es superior a la que sería si no dispusiéramos de esta información.

Comprobémoslo:

Sabemos que $P(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, por la regla de Laplace, y

$$P(A\cap B)=\text{"probabilidad de sacar un }6\text{ y sacar un número par"}=$$ $$=\text{"probabilidad de sacar un }6"={\displaystyle \frac{1}{6}}$$

$$P(A/B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{6}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

En particular, hemos comprobado que nuestros sucesos $A$ y $B$ son dependientes, ya que $P(A/B)$ es diferente de $P(A)$.

Ejemplo

Haciendo una encuesta telefónica, hemos preguntado a $1000$ personas si creían necesario que hubiera más iluminación en la calle por la noche.

Nos han respondido $480$ hombres, de los cuales $324$ han respondido que sí, y $156$ que no, y $520$ mujeres, de las cuales $351$ han respondido que sí, y $169$ que no. Nos preguntamos si hombres y mujeres tienen una opinión diferente, o bien si es irrelevante para la cuestión.

Para ver más claramente lo que nos dicen, lo mejor es colocar los datos en una tabla:

Consideremos los sucesos $A=$"querer más luz (haber respondido sí)", $B=$"que haya respondido un hombre".

Nos preguntamos si $A$ y $B$ son independientes, es decir, si el hecho de querer más luz depende de si se es hombre o mujer.

Calculemos las probabilidades:

$$P(A)={\displaystyle \frac{324+351}{1000}}={\displaystyle \frac{675}{1000}}$$ por la regla de Laplace (son todos los que han respondido que sí, sumando hombres y mujeres).

$$P(B)={\displaystyle \frac{480}{1000}}$$ los hombres que nos han respondido entre el total de llamadas.

$$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{324}{1000}}$$ los que son hombres y han respondido que sí.

Se cumple que $${\displaystyle \frac{324}{1000}}={\displaystyle \frac{675}{1000}}\cdot {\displaystyle \frac{480}{1000}}$$ es decir que $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$ por lo que los sucesos son independientes. En otras palabras, el hecho de ser hombre o mujer no ha influido para saber si quieren o no más luz.