Ejercicios de Sucesos dependientes e independientes

Desarrollo:

Estamos considerando dos sucesos, $C=$"tener el cabello castaño", $O=$ "tener los ojos castaños". Por el enunciado, sabemos que $P(C)={\displaystyle \frac{6}{10}}=35$, $P(O)={\displaystyle \frac{7}{10}}$, $P(O\cup C)={\displaystyle \frac{8}{10}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$.

Nos preguntan la probabilidad de tener ojos castaños, sabiendo que la persona tiene los cabellos castaños, esto es, $P(O/C)$.

Aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada, $P(O/C)={\displaystyle \frac{P(O\cap C)}{P(C)}}$, pero aún no conocemos $P(O\cap C)$.

Como conocemos la probabilidad de la unión, podemos utilizar la fórmula $P(O\cup C)=P(O)+P(C)-P(O\cap C)$.

Sustituyendo, $${\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{7}{10}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}-P(O\cap C)$$ y por lo tanto, $$P(O\cap C)={\displaystyle \frac{7}{10}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{5}{10}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

Así pues, $$P(O/C)={\displaystyle \frac{P(O\cap C)}{P(C)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{3}{5}}}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$$

Para calcular si es independiente tener el cabello y los ojos castaños, debemos preguntarnos si $P(O\cap C)=P(O)\cdot P(C)$.

Sustituyendo, ${\displaystyle \frac{1}{2}}\ne {\displaystyle \frac{7}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{21}{50}}$.

Por lo tanto, los dos sucesos son dependientes.

Solución:

$P(O/C)={\displaystyle \frac{5}{6}}$. Los dos sucesos son dependientes.

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