En Barcelona, el $$60\%$$ de la población tiene el cabello castaño, el $$70\%$$ tiene ojos castaños, y el $$80\%$$ tiene el cabello o los ojos castaños.
Escogemos una persona al azar. Si tiene el pelo castaño, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? ¿Es independiente tener el cabello castaño y tener los ojos castaños, o hay una relación?
Desarrollo:
Estamos considerando dos sucesos, $$C =$$"tener el cabello castaño", $$O=$$ "tener los ojos castaños". Por el enunciado, sabemos que $$P(C)=\dfrac{6}{10}={3}{5}$$, $$P(O)=\dfrac{7}{10}$$, $$P(O\cup C)=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$$.
Nos preguntan la probabilidad de tener ojos castaños, sabiendo que la persona tiene los cabellos castaños, esto es, $$P(O/C)$$.
Aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada, $$P(O/C)=\dfrac{P(O\cap C)}{P(C)}$$, pero aún no conocemos $$P(O\cap C)$$.
Como conocemos la probabilidad de la unión, podemos utilizar la fórmula $$P(O\cup C)=P(O)+P(C)-P(O\cap C)$$.
Sustituyendo, $$$\dfrac{4}{5}=\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{5}-P(O\cap C)$$$ y por lo tanto, $$$P(O\cap C)=\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$$$
Así pues, $$$P(O/C)=\dfrac{P(O\cap C)}{P(C)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{5}{6}$$$
Para calcular si es independiente tener el cabello y los ojos castaños, debemos preguntarnos si $$P(O\cap C)=P(O)\cdot P(C)$$.
Sustituyendo, $$\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{21}{50}$$.
Por lo tanto, los dos sucesos son dependientes.
Solución:
$$P(O/C)=\dfrac{5}{6}$$. Los dos sucesos son dependientes.