A Barcelona, el $$60\%$$ de la població té el cabell castany, el $$70\%$$ té ulls castanys, i el $$80\%$$ té el cabell o els ulls castanys.
Escollim una persona a l'atzar. Si teniu el cabell castany, quina és la probabilitat que tingui també ulls castanys? És independent tenir el cabell castany i tenir els ulls castanys, o hi ha una relació?
Desenvolupament:
Estem considerant dos successos, $$C =$$"tenir el cabell castany", $$O=$$ "tenir els ulls castanys". Per l'enunciat, sabem que $$P(C)=\dfrac{6}{10}={3}{5}$$, $$P(O)=\dfrac{7}{10}$$, $$P(O\cup C)=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$$.
Ens pregunten la probabilitat de tenir ulls castanys, sabent que la persona té els cabells castanys, és a dir, $$P(O/C)$$.
Aplicant la fórmula de la probabilitat condicionada, $$P(O/C)=\dfrac{P(O\cap C)}{P(C)}$$, però encara no coneixem $$P(O\cap C)$$.
Com coneixem la probabilitat de la unió, podem utilitzar la fórmula $$P(O\cup C)=P(O)+P(C)-P(O\cap C)$$.
Substituint, $$$\dfrac{4}{5}=\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{5}-P(O\cap C)$$$ i per tant, $$$P(O\cap C)=\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$$$
Així doncs, $$$P(O/C)=\dfrac{P(O\cap C)}{P(C)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{5}{6}$$$
Per calcular si és independent tenir el cabell i els ulls castanys, hem de preguntar-nos si $$P(O\cap C)=P(O)\cdot P(C)$$.
Substituint, $$\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{21}{50}$$.
Per tant, els dos successos són dependents.
Solució:
$$P(O/C)=\dfrac{5}{6}$$. Els dos successos són dependents.