Exercicis de Successos dependents i independents

Desenvolupament:

Estem considerant dos successos, $C=$"tenir el cabell castany", $O=$ "tenir els ulls castanys". Per l'enunciat, sabem que $P(C)={\displaystyle \frac{6}{10}}=35$, $P(O)={\displaystyle \frac{7}{10}}$, $P(O\cup C)={\displaystyle \frac{8}{10}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$.

Ens pregunten la probabilitat de tenir ulls castanys, sabent que la persona té els cabells castanys, és a dir, $P(O/C)$.

Aplicant la fórmula de la probabilitat condicionada, $P(O/C)={\displaystyle \frac{P(O\cap C)}{P(C)}}$, però encara no coneixem $P(O\cap C)$.

Com coneixem la probabilitat de la unió, podem utilitzar la fórmula $P(O\cup C)=P(O)+P(C)-P(O\cap C)$.

Substituint, $${\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{7}{10}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}-P(O\cap C)$$ i per tant, $$P(O\cap C)={\displaystyle \frac{7}{10}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{5}{10}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

Així doncs, $$P(O/C)={\displaystyle \frac{P(O\cap C)}{P(C)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{3}{5}}}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$$

Per calcular si és independent tenir el cabell i els ulls castanys, hem de preguntar-nos si $P(O\cap C)=P(O)\cdot P(C)$.

Substituint, ${\displaystyle \frac{1}{2}}\ne {\displaystyle \frac{7}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{21}{50}}$.

Per tant, els dos successos són dependents.

Solució:

$P(O/C)={\displaystyle \frac{5}{6}}$. Els dos successos són dependents.

Amagar desenvolupament i solució