Operacions entre successos: unió, intersecció, diferència i complementari

Exemple

Comencem amb l'experiment de tirar un dau de sis cares i mirar quin número surt. Podem representar el seu espai mostral per $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ .

Considerem dos successos: $A =$ "treure un nombre parell", $B =$ "treure un nombre major o igual que $4$ ". El conjunt de resultats que compleixen $A$ i $B$ és, respectivament, $A = {2, 4, 6}$ , $B = {4, 5, 6}$ .

Podem considerar les següents operacions entre dos successos: unió, intersecció, diferència i complementari.

Vegem què volen dir en el nostre exemple.

La unión de $A$ i $B$ , que escrivim " $A$ o $B$ ", o bé $A \cup B$ és el succés format per tots els resultats que compleixen $A$ o compleixen $B$ . En el nostre cas, seria el succés $C =$ "treure un nombre parell o més gran o igual que $4$ ". Si ho representem com a conjunt de resultats possibles, $C = {2, 4, 5, 6}$ , que són tots els resultats que compleixen un dels dos esdeveniments.

Resulta útil expressar amb la notació de conjunts, ja que la unió de $A$ i $B$ és en realitat $A \cup B = {2, 4, 6} \cup {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}$

La intersecció de $A$ i $B$ , que escrivim " $A$ i $B$ ", o bé $A \cap B$ és el succés format per tots els resultats que compleixen $A$ i compleixen $B$ . En el nostre cas, seria el succés $C =$ "treure un nombre parell i més gran o igual que $4$ ". Si ho representem com a conjunt de resultats possibles, $C = {4, 6}$ , que són tots els resultats que compleixen els dos successos a la vegada.

Com abans, si ho expressem com operacions entre conjunts, la intersecció de $A$ i $B$ és en realitat $A \cap B = {2, 4, 6} \cap {4, 5, 6} = {4, 6}$

La diferència de $A$ i $B$ , que escrivim $A - B$ és el succés format per tots els resultats que compleixen $A$ , però no compleixen $B$ . En el nostre cas, seria el succés $C =$ "treure un nombre parell, però no més gran o igual que $4$ ", o el que és el mateix, $C =$ "treure un nombre parell, però menor que $3$ ".

Veiem que $C = {2}$ , ja que és l'únic resultat que compleix les dues condicions. El fet que hi hagi dues formes d'escriure $C$ no és casualitat, de fet, sempre es compleix que $A - B = A \cap \overset{―}{B}$ .

Amb conjunts, la diferència de $A$ i $B$ és $A - B = {2, 4, 6} - {4, 5, 6} = {2}$

De vegades també la podem trobar escrita com $A$ \ $B$ . Per calcular-la, és com si traguéssim de $A$ tots els resultats que estan en $B$ . Hem de tenir cura, perquè $A - B$ no és el mateix que $B - A$ .

En el nostre cas, $B - A = {5}$ , que és l'únic resultat que està en $B$ , però no està en $A$ .

Finalment, hi ha el complementari o contrari de $A$ . Si el nostre succés és $A$ , escrivim el succés contrari com $\overset{―}{A}$ que està format per tots els successos elementals que no compleixen $A$ .

En el nostre cas, $\overset{―}{A} =$ "ser un número senar" $= {1, 3, 5}$ . Amb notació de teoria de conjunts, calculem el complementari mitjançant $\overset{―}{A} = Ω - A$

És a dir, el complementari d'un succés $A$ és en realitat la diferència de $Ω$ i $A$ : tots els successos elementals menys els que compleixen $A$ .

Com a conseqüència de la nostra definició, veiem clarament que el succés contrari d'un succés impossible és un succés segur, ja que si $C = \emptyset$ , és a dir, el succés $C$ és impossible, llavors $\overset{―}{C} = Ω$ , i viceversa, el contrari d'un succés segur és un succés impossible, ja que si $D$ és un succés segur, és a dir, $D = Ω$ , llavors $\overset{―}{D} = \emptyset$ .

Propietats de les operacions entre successos

A continuació, destaquem una sèrie de propietats dels conjunts que ens poden resultar útils en probabilitat.

Commutativa:

$A \cup B = B \cup A$

$A \cap B = B \cap A$

Associativa:

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

Per aquest motiu, quan només tenim unions o només interseccions, no acostumem a posar parèntesi, ja que no hi ha risc de confondre'ns.

Idempotència:

$A \cup A = A$

$A \cap A = A$

Simplificativa:

$A \cup (A \cap B) = A$

$A \cap (A \cup B) = A$

Distributiva:

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Element neutre:

$A \cup \emptyset = A$

$A \cap Ω = A$

Complementació:

$A \cup \overset{―}{A} = Ω$

$A \cap \overset{―}{A} = \emptyset$

Involució:

$\overset{―}{\overset{―}{A}} = A$ , es decir, el complementario del complementario de $A$ es $A$ .

Lleis de De Morgan:

$\overset{―}{A \cup B} = \overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}$

$\overset{―}{A \cap B} = \overset{―}{A} \cup \overset{―}{B}$

Vistes així, sembla que aquestes propietats siguin difícils, però en realitat, si les penses una mica, la majoria et semblaran de sentit comú.

Exemple

La propietat commutativa de la unió ens està dient que és el mateix "treure un un o un quatre" que "treure un quatre o un".

La complementació, amb la intersecció, ens diu que "treure un tres i no treure un tres" és el succés impossible, és a dir, que mai pot passar. ¿Lògic, no?

La idempotència amb la intersecció només diu que "treure un dos i treure un dos" és senzillament "treure un dos".

T'atreveixes a traduir les altres? Si ho intentes, veuràs que en realitat aquesta taula no és complicada.

Exemple

En una reunió tenim $20$ persones, algunes de les quals porten ulleres. Determinar per quins resultats està format el succés "ser dona i no portar ulleres, o portar ulleres".

Necessitem definir, en primer lloc, quins són els nostres resultats possibles.

Per exemple, podem suposar que són, d'una banda, $H =$ "ser home" i $M =$ "ser dona" i de l'altra, $G =$ "portar ulleres" i $N G =$ "no portar ulleres".

En aquest cas, el nostre espai mostral està format per $Ω = {(H, G), (H, N G), (M, G), (M, N G)}$

Amb aquesta notació, el succés "ser dona i no portar ulleres" $= {(M, N G)}$ .

El succés "portar ulleres" $= {(H, G), (M, G)}$ , és a dir, està format pels homes que porten ulleres i les dones que porten ulleres. Llavors, el succés unió de "ser dona i no portar ulleres" o "portar ulleres" està format per ${(H, G), (M, G), (M, N G)}$ , és a dir, els únics que no compleixen el succés són els homes que no porten ulleres.

Observem que, de fet, $\overset{―}{H} = M$ , i $\overset{―}{G} = N G$ , això vol dir, si no és home és perquè és dona, i el contrari de portar ulleres és no portar ulleres.

Per aquest motiu, també podríem haver descrit el nostre espai mostral com $Ω = {(H, G), (H, \overset{―}{G}), (\overset{―}{H}, G), (\overset{―}{H}, \overset{―}{G})}$

Exemple

Una urna conté tres boles vermelles i dues blaves. Extraiem successivament i amb reposició, dues boles i observem el seu color.

Defineix quins resultats possibles compleixen el succés "treure una bola vermella i una blava, sense importar en quin ordre". Comprova que aquest succés coincideix amb la intersecció de "treure una bola vermella" i "treure una bola blava".
Defineix quins resultats compleixen el succés "treure una bola vermella la primera vegada, o una blava la segona". Comprova que aquest succés coincideix amb la unió de "treure una bola vermella la primera vegada" o "treure una bola blava la segona vegada".

Aquest és un tipus d'experiment freqüent, que té a veure també amb combinatòria. Si extraiem dues boles d'una urna "successivament i amb reposició" vol dir que primer traiem una, observem el seu color, la tornem a introduir en l'urna, i traiem la segona. Si les estrangeres sense reposició, voldria dir que quan traiem la primera bola, no la tornem a introduir a l'urna.

Primer, analitzem què passa quan no ens importa l'ordre. Cada vegada que traiem una bola, pot passar que sigui una bola vermella $(V)$ , o bé que sigui una bola blava $(B)$ . Aleshores, podem considerar que el nostre espai mostral és $Ω = {{V, V}, {V, B}, {B, B}}$ . En aquest cas, el resultat possible que compleix l'enunciat és el ${V, B}$ .

Vegem ara que el succés "treure una bola vermella i una blava" coincideix amb la intersecció dels successos "treure una bola vermella" (en qualsevol de les dues extraccions) i "treure una bola blava" (també en qualsevol de les dues extraccions ). Els resultats que compleixen el succés "treure una bola vermella" són ${{V, V}, {V, B}}$ . Els resultats que compleixen el succés "treure una bola blava" són ${{V, B}, {B, B}}$ . El succés intersecció està format pels que compleixen els dos successos al mateix temps, és a dir, únicament ${V, B}$ .

No és l'única manera de resoldre aquest apartat. També podem considerar que els resultats estan ordenats, i llavors veure quins compleixen l'enunciat. Si considerem els resultats amb ordre, llavors el nostre espai mostral és

$Ω = {(V, V), (V, B), (B, V), (B, B)}$ , que per abreujar, solem escriure com $Ω = {V V, V B, B V, B B}$ . Llavors, els resultats possibles que compleixen l'enunciat són $V B$ i $B V$ .

En aquest cas, el succés "treure una bola vermella" $= {V V, V B, B V}$ . El succés "treure una bola blava" $= {V B, B V, B B}$ . El succés intersecció està format pels successos que compleixen tots dos. En aquest cas, els successos en comú són ${V B, B V}$ , tal com havíem vist abans.

Ara considerem què passa quan sí que ens importa l'ordre. En aquest cas, necessitem saber en quin ordre hem extret les boles, de manera que hem d'escriure l'espai mostral com $Ω = {V V, V B, B V, B B}$ . Els resultats que compleixen "treure una bola vermella la primera vegada, o una blava la segona" són: $V V, V B, B B$ .

Vegem ara què és el succés "treure una bola vermella la primera vegada" $= {V V, V B}$ . D'altra banda, "treure una bola blava la segona vegada" $= {V B, B B}$ . Per tant, el succés unió dels dos és el conjunt format pels que compleixen un o l'altre, és a dir, "treure una bola vermella la primera vegada, o una blava la segona" $= {V V, V B, B B}$ , tal com havíem vist abans.