Operaciones entre sucesos: unión, intersección, diferencia y complementario

Ejemplo

Empecemos con el experimento de tirar un dado de seis caras y mirar qué número sale. Podemos representar su espacio muestral por $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ .

Consideremos dos sucesos: $A =$ "sacar un número par", $B =$ "sacar un número mayor o igual que $4$ ". El conjunto de resultados que cumplen $A$ y $B$ es, respectivamente, $A = {2, 4, 6}$ , $B = {4, 5, 6}$ .

Podemos considerar las siguientes operaciones entre dos sucesos: unión, intersección, diferencia y complementario.

Veamos qué quieren decir en nuestro ejemplo.

La unión de $A$ y $B$ , que escribimos " $A$ o $B$ ", o bien $A \cup B$ es el suceso formado por todos los resultados que cumplen $A$ o cumplen $B$ . En nuestro caso, sería el suceso $C =$ "sacar un número par o mayor o igual que $4$ ". Si lo representamos como conjunto de resultados posibles, $C = {2, 4, 5, 6}$ , que son todos los resultados que cumplen uno de los dos sucesos.

Resulta útil expresarlo con la notación de conjuntos, puesto que la unión de $A$ y $B$ es en realidad $A \cup B = {2, 4, 6} \cup {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}$

La intersección de $A$ y $B$ , que escribimos " $A$ y $B$ ", o bien $A \cap B$ es el suceso formado por todos los resultados que cumplen $A$ y cumplen $B$ . En nuestro caso, sería el suceso $C =$ "sacar un número par y mayor o igual que $4$ ". Si lo representamos como conjunto de resultados posibles, $C = {4, 6}$ , que son todos los resultados que cumplen los dos sucesos a la vez.

Como antes, si lo expresamos como operaciones entre conjuntos, la intersección de $A$ y $B$ es en realidad $A \cap B = {2, 4, 6} \cap {4, 5, 6} = {4, 6}$

La diferencia de $A$ y $B$ , que escribimos $A - B$ es el suceso formado por todos los resultados que cumplen $A$ , pero no cumplen $B$ . En nuestro caso, sería el suceso $C =$ "sacar un número par, pero no mayor o igual que $4$ ", o lo que es lo mismo, $C =$ "sacar un número par, pero menor que $3$ ".

Vemos que $C = {2}$ , puesto que es el único resultado que cumple las dos condiciones. El hecho de que haya dos formas de escribir $C$ no es casualidad; de hecho, siempre se cumple que $A - B = A \cap \overset{―}{B}$ .

Con conjuntos, la diferencia de $A$ y $B$ es $A - B = {2, 4, 6} - {4, 5, 6} = {2}$

A veces también la podemos encontrar escrita como $A$ \ $B$ . Para calcularla, es como si quitáramos de $A$ todos los resultados que están en $B$ . Debemos tener cuidado, porque $A - B$ no es lo mismo que $B - A$ .

En nuestro caso, $B - A = {5}$ , que es el único resultado que está en $B$ , pero no está en $A$ .

Finalmente, existe el complementario o contrario de $A$ . Si nuestro suceso es $A$ , escribimos el suceso contrario como $\overset{―}{A}$ que está formado por todos los sucesos elementales que no cumplen $A$ .

En nuestro caso, $\overset{―}{A} =$ "ser un número impar" $= {1, 3, 5}$ . Con notación de teoría de conjuntos, calculamos el complementario mediante $\overset{―}{A} = Ω - A$ Es decir, el complementario de un suceso $A$ es en realidad la diferencia de $Ω$ y $A$ : todos los sucesos elementales menos los que cumplen $A$ .

Como consecuencia de nuestra definición, vemos claramente que el suceso contrario de un suceso imposible es un suceso seguro, ya que si $C = \emptyset$ , es decir, el suceso $C$ es imposible, entonces $\overset{―}{C} = Ω$ , y viceversa, el contrario de un suceso seguro es un suceso imposible, puesto que si $D$ es un suceso seguro, es decir, $D = Ω$ , entonces $\overset{―}{D} = \emptyset$ .

Propiedades de las operaciones entre sucesos

A continuación, destacamos una serie de propiedades de los conjuntos que nos pueden resultar útiles en probabilidad.

Conmutativa:

$A \cup B = B \cup A$

$A \cap B = B \cap A$

Asociativa:

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

Por este motivo, cuando sólo tenemos uniones o sólo intersecciones, no acostumbramos a poner paréntesis, puesto que no hay riesgo de confundirnos.

Idempotencia:

$A \cup A = A$

$A \cap A = A$

Simplificativa:

$A \cup (A \cap B) = A$

$A \cap (A \cup B) = A$

Distributiva:

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Elemento neutro:

$A \cup \emptyset = A$

$A \cap Ω = A$

Complementación:

$A \cup \overset{―}{A} = Ω$

$A \cap \overset{―}{A} = \emptyset$

Involución:

$\overset{―}{\overset{―}{A}} = A$ , es decir, el complementario del complementario de $A$ es $A$ .

Leyes de De Morgan:

$\overset{―}{A \cup B} = \overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}$

$\overset{―}{A \cap B} = \overset{―}{A} \cup \overset{―}{B}$

Vistas así, parece que estas propiedades sean difíciles, pero en realidad, si las piensas un poco, la mayoría te parecerán de sentido común.

Algunos ejemplos:

Ejemplo

La propiedad conmutativa de la unión nos está diciendo que es lo mismo "sacar un uno o un cuatro" que "sacar un cuatro o un uno".

La complementación, con la intersección, nos dice que "sacar un tres y no sacar un tres" es el suceso imposible, es decir, que nunca puede pasar. ¿Lógico, no?

La idempotencia con la intersección tan sólo dice que "sacar un dos y sacar un dos" es sencillamente "sacar un dos".

¿Te atreves a traducir las otras? Si lo intentas, verás que en realidad esta tabla no es complicada.

Ejemplo

En una reunión tenemos $20$ personas, algunas de las cuales llevan gafas. Determinar por qué resultados está formado el suceso "ser mujer y no llevar gafas, o llevar gafas".

Necesitamos definir, en primer lugar, cuáles son nuestros resultados posibles.

Por ejemplo, podemos suponer que son, por un lado, $H =$ "ser hombre" y $M =$ "ser mujer" y por el otro, $G =$ "llevar gafas" y $N G =$ "no llevar gafas".

En este caso, nuestro espacio muestral está formado por $Ω = {(H, G), (H, N G), (M, G), (M, N G)}$

Con esta notación, el suceso "ser mujer y no llevar gafas" $= {(M, N G)}$ .

El suceso "llevar gafas" $= {(H, G), (M, G)}$ , es decir, está formado por los hombres que llevan gafas y las mujeres que llevan gafas. Entonces, el suceso unión de "ser mujer y no llevar gafas" o "llevar gafas" está formado por ${(H, G), (M, G), (M, N G)}$ , es decir, los únicos que no cumplen el suceso son los hombres que no llevan gafas.

Observemos que, de hecho, $\overset{―}{H} = M$ , y $\overset{―}{G} = N G$ , esto quiere decir, si no se es hombre, se es mujer, y lo contrario de llevar gafas es no llevar gafas. Por este motivo, también podríamos haber descrito nuestro espacio muestral como $Ω = {(H, G), (H, \overset{―}{G}), (\overset{―}{H}, G), (\overset{―}{H}, \overset{―}{G})}$

Ejemplo

Una urna contiene tres bolas rojas y dos azules. Extraemos sucesivamente y con reposición, dos bolas y observamos su color.

Define qué resultados posibles cumplen el suceso "sacar una bola roja y una azul, sin importar en qué orden". Comprueba que este suceso coincide con la intersección de "sacar una bola roja" y "sacar una bola azul".
Define qué resultados cumplen el suceso "sacar una bola roja la primera vez, o una azul la segunda". Comprueba que este suceso coincide con la unión de "sacar una bola roja la primera vez" o "sacar una bola azul la segunda vez".

Éste es un tipo de experimento frecuente, que está relacionado también con combinatoria. Si extraemos dos bolas de una urna "sucesivamente y con reposición" quiere decir que primero sacamos una, observamos su color, la volvemos a introducir en la urna, y sacamos la segunda. Si las extrajéramos sin reposición, querría decir que cuando sacamos la primera bola, no la volvemos a introducir en la urna.

Primero, analicemos qué pasa cuando no nos importa el orden. Cada vez que sacamos una bola, puede pasar que sea una bola roja $(R)$ , o bien que sea una bola azul $(A)$ . Entonces, podemos considerar que nuestro espacio muestral es $Ω = {{R, R}, {R, A}, {A, A}}$ . En este caso, el resultado posible que cumple el enunciado es el ${R, A}$ .

Veamos ahora que el suceso "sacar una bola roja y una azul" coincide con la intersección de los sucesos "sacar una bola roja" (en cualquiera de las dos extracciones) y "sacar una bola azul" (también en cualquiera de las dos extracciones). Los resultados que cumplen el suceso "sacar una bola roja" son ${{R, R}, {R, A}}$ . Los resultados que cumplen el suceso "sacar una bola azul" son ${{R, A}, {A, A}}$ . El suceso intersección está formado por los que cumplen los dos sucesos a la vez, es decir, únicamente ${R, A}$ .

No es la única manera de resolver este apartado. También podemos considerar que los resultados están ordenados, y entonces ver cuáles cumplen el enunciado. Si consideramos los resultados con orden, entonces nuestro espacio muestral es

$Ω = {(R, R), (R, A), (A, R), (A, A)}$ , que para abreviar, solemos escribir como $Ω = {R R, R A, A R, A A}$ . Entonces, los resultados posibles que cumplen el enunciado son $R A$ y $A R$ .

En este caso, el suceso "sacar una bola roja" $= {R R, R A, A R}$ . El suceso "sacar una bola azul" $= {R A, A R, A A}$ . El suceso intersección está formado por los sucesos que cumplen los dos. En este caso, los sucesos en común son ${R A, A R}$ , tal y como habíamos visto antes.

Ahora consideremos qué pasa cuando sí que nos importa el orden. En este caso, necesitamos saber en qué orden hemos extraído las bolas, por lo que tenemos que escribir el espacio muestral como $Ω = {R R, R A, A R, A A}$ . Los resultados que cumplen "sacar una bola roja la primera vez, o una azul la segunda" son: $R R, R A, A A$ .

Veamos ahora qué es el suceso "sacar una bola roja la primera vez" $= {R R, R A}$ . Por su parte, "sacar una bola azul la segunda vez" $= {R A, A A}$ . Por lo tanto, el suceso unión de los dos es el conjunto formado por los que cumplen uno o el otro, es decir, "sacar una bola roja la primera vez, o una azul la segunda" $= {R R, R A, A A}$ , tal y como habíamos visto antes.