En una urna tenemos bolas blancas $$(B)$$, rojas $$(R)$$, verdes $$(V)$$ y negras $$(N)$$. Extraemos una bola de la urna, y miramos de qué color es.
Considera los sucesos siguientes:
$$A_1=$$"sacar una bola blanca o roja".
$$A_2=$$"sacar una bola que no sea verde".
$$A_3=$$"sacar una bola negra".
Describe por qué resultados está formado cada uno de los sucesos.
Considera ahora los siguientes sucesos: $$A_1\cup A_3$$, $$A_2-A_1$$, $$\overline{A_1}\cap A_3$$.
Describe por qué resultados está formado cada uno de los sucesos.
Desarrollo:
En primer lugar, tenemos que determinar cuál es el espacio muestral. Ya sabemos que los resultados posibles son sacar una bola blanca $$(B)$$, sacar una bola roja $$(R)$$, sacar una bola verde $$(V)$$ y sacar una bola negra $$(N)$$. Así pues, $$\Omega=\lbrace B,R,V,N \rbrace$$.
El suceso $$A_1=$$"sacar una bola blanca o roja" está formado por $$A_1= \lbrace B, R \rbrace$$. Lo podemos ver directamente, o bien considerando que $$A_1$$ es la unión de "sacar una bola blanca", $$\lbrace B \rbrace$$, y "sacar una bola roja", $$\lbrace R \rbrace$$.
El suceso $$A_2 =$$"sacar una bola que no sea verde" es el contrario del suceso "sacar una bola verde" $$= \lbrace V \rbrace$$. Es decir, $$A_2=\overline{V}$$. Así pues, sabemos que podemos encontrar $$A_2$$ haciendo $$A_2=\Omega-\lbrace V \rbrace=\lbrace B,R,V,N \rbrace-\lbrace V \rbrace=\lbrace B,R,V \rbrace$$.
El suceso $$A_3=$$"sacar una bola negra"$$=\lbrace N \rbrace$$.
Consideremos ahora las operaciones entre sucesos que se nos plantean:
$$A_1\cup A_3 =$$"sacar una bola blanca o roja, o sacar una bola negra" $$= \lbrace B,R \rbrace \cup \lbrace N \rbrace=\lbrace B,R,N \rbrace $$.
$$A_2-A_1$$ es la diferencia de $$A_2$$ y $$A_1$$. Está formado por todos los sucesos que están en $$A_2$$, pero no en $$A_1$$. Así pues, $$A_2-A_1=\lbrace B,R,V \rbrace-\lbrace B,R \rbrace=\lbrace V \rbrace$$.
Para calcular $$\overline{A_1}\cap A_3$$, primero tenemos que calcular qué es $$\overline{A_1}$$. Hemos visto que el complementario de $$A_1$$ se puede encontrar haciendo $$\overline{A_1}=\Omega - A_1 = \lbrace B,R,V,N \rbrace - \lbrace B,R \rbrace = \lbrace V,N \rbrace.$$
Ahora podemos calcular el suceso $$\overline{A_1} \cap A_3$$, formado por todos los sucesos que cumplen $$\overline{A_1}$$ y $$A_3$$. Lo encontramos haciendo $$\overline{A_1}\cap A_3= \lbrace V,N \rbrace \cap \lbrace N \rbrace = \lbrace N \rbrace$$.
Solución:
$$A_1=\lbrace B,R \rbrace$$, $$A_2=\lbrace B,R,V \rbrace$$, $$A_3=\lbrace N \rbrace$$.
$$A_1 \cup A_3 = \lbrace B,R,N \rbrace$$, $$A_2-A_1=\lbrace V \rbrace$$, $$\overline{A_1}\cap A_3=\lbrace N \rbrace$$.