Ejercicios de Operaciones entre sucesos: unión, intersección, diferencia y complementario

En una urna tenemos bolas blancas $(B)$ , rojas $(R)$ , verdes $(V)$ y negras $(N)$ . Extraemos una bola de la urna, y miramos de qué color es.

Considera los sucesos siguientes:

$A_{1} =$ "sacar una bola blanca o roja".

$A_{2} =$ "sacar una bola que no sea verde".

$A_{3} =$ "sacar una bola negra".

Describe por qué resultados está formado cada uno de los sucesos.

Considera ahora los siguientes sucesos: $A_{1} \cup A_{3}$ , $A_{2} - A_{1}$ , $\overset{―}{A_{1}} \cap A_{3}$ .

Describe por qué resultados está formado cada uno de los sucesos.

Ver desarrollo y solución

Desarrollo:

En primer lugar, tenemos que determinar cuál es el espacio muestral. Ya sabemos que los resultados posibles son sacar una bola blanca $(B)$ , sacar una bola roja $(R)$ , sacar una bola verde $(V)$ y sacar una bola negra $(N)$ . Así pues, $Ω = {B, R, V, N}$ .

El suceso $A_{1} =$ "sacar una bola blanca o roja" está formado por $A_{1} = {B, R}$ . Lo podemos ver directamente, o bien considerando que $A_{1}$ es la unión de "sacar una bola blanca", ${B}$ , y "sacar una bola roja", ${R}$ .

El suceso $A_{2} =$ "sacar una bola que no sea verde" es el contrario del suceso "sacar una bola verde" $= {V}$ . Es decir, $A_{2} = \overset{―}{V}$ . Así pues, sabemos que podemos encontrar $A_{2}$ haciendo $A_{2} = Ω - {V} = {B, R, V, N} - {V} = {B, R, V}$ .

El suceso $A_{3} =$ "sacar una bola negra" $= {N}$ .

Consideremos ahora las operaciones entre sucesos que se nos plantean:

$A_{1} \cup A_{3} =$ "sacar una bola blanca o roja, o sacar una bola negra" $= {B, R} \cup {N} = {B, R, N}$ .

$A_{2} - A_{1}$ es la diferencia de $A_{2}$ y $A_{1}$ . Está formado por todos los sucesos que están en $A_{2}$ , pero no en $A_{1}$ . Así pues, $A_{2} - A_{1} = {B, R, V} - {B, R} = {V}$ .

Para calcular $\overset{―}{A_{1}} \cap A_{3}$ , primero tenemos que calcular qué es $\overset{―}{A_{1}}$ . Hemos visto que el complementario de $A_{1}$ se puede encontrar haciendo $\overset{―}{A_{1}} = Ω - A_{1} = {B, R, V, N} - {B, R} = {V, N} .$

Ahora podemos calcular el suceso $\overset{―}{A_{1}} \cap A_{3}$ , formado por todos los sucesos que cumplen $\overset{―}{A_{1}}$ y $A_{3}$ . Lo encontramos haciendo $\overset{―}{A_{1}} \cap A_{3} = {V, N} \cap {N} = {N}$ .

Solución:

$A_{1} = {B, R}$ , $A_{2} = {B, R, V}$ , $A_{3} = {N}$ .

$A_{1} \cup A_{3} = {B, R, N}$ , $A_{2} - A_{1} = {V}$ , $\overset{―}{A_{1}} \cap A_{3} = {N}$ .

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