Exercicis de Operacions entre successos: unió, intersecció, diferència i complementari

En una urna tenim boles blanques $(B)$ , vermelles $(R)$ , grogues $(G)$ i negres $(N)$ .Extraiem una bola de l'urna, i mirem de quin color és.

Considera els successos següents:

$A_{1} =$ "Treure una bola blanca o vermella".

$A_{2} =$ "Treure una bola que no sigui groga".

$A_{3} =$ "Treure una bola negra".

Descriu per quins resultats està format cada un dels successos.

Considera ara els següents successos: $A_{1} \cup A_{3}$ , $A_{2} - A_{1}$ , $\overset{―}{A_{1}} \cap A_{3}$ .

Descriu per quins resultats està format cada un dels successos.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

En primer lloc, hem de determinar quin és l'espai mostral. Ja sabem que els resultats possibles són treure una bola blanca $(B)$ , treure una bola vermella $(R)$ , treure una bola groga $(G)$ i treure una bola negra $(N)$ . Així doncs, $Ω = {B, R, G, N}$ .

El succés $A_{1} =$ "Treure una bola blanca o vermella" està format per $A_{1} = {B, R}$ . Ho podem veure directament, o bé considerant que $A_{1}$ és la unió de "treure una bola blanca", ${B}$ , i "treure una bola vermella", ${R}$ .

El succés $A_{2} =$ "Treure una bola que no sigui groga" és el contrari del succés "treure una bola groga"" $= {G}$ . És a dir, $A_{2} = \overset{―}{G}$ . Així doncs, sabem que podem trobar $A_{2}$ fent $A_{2} = Ω - {G} = {B, R, G, N} - {G} = {B, R, G}$ .

El succés $A_{3} =$ "Treure una bola negra" $= {N}$ .

Considerem ara les operacions entre successos que se'ns plantegen:

$A_{1} \cup A_{3} =$ "Treure una bola blanca o vermella, o treure una bola negra" $= {B, R} \cup {N} = {B, R, N}$ .

$A_{2} - A_{1}$ és la diferència de $A_{2}$ i $A_{1}$ . Està format per tots els successos que estan en $A_{2}$ , però no en $A_{1}$ . Així doncs, $A_{2} - A_{1} = {B, R, G} - {B, R} = {G}$ .

Per calcular $\overset{―}{A_{1}} \cap A_{3}$ , primer hem de calcular què és $\overset{―}{A_{1}}$ . Hem vist que el complementari de $A_{1}$ es pot trobar fent $\overset{―}{A_{1}} = Ω - A_{1} = {B, R, G, N} - {B, R} = {G, N} .$

Ara podem calcular el succés $\overset{―}{A_{1}} \cap A_{3}$ , format per tots els esdeveniments que compleixen $\overset{―}{A_{1}}$ i $A_{3}$ . El trobem fent $\overset{―}{A_{1}} \cap A_{3} = {G, N} \cap {N} = {N}$ .

Solució:

$A_{1} = {B, R}$ , $A_{2} = {B, R, G}$ , $A_{3} = {N}$ .

$A_{1} \cup A_{3} = {B, R, N}$ , $A_{2} - A_{1} = {G}$ , $\overset{―}{A_{1}} \cap A_{3} = {N}$ .

Amagar desenvolupament i solució