En una urna tenim boles blanques $$(B)$$, vermelles $$(R)$$, grogues $$(G)$$ i negres $$(N)$$.Extraiem una bola de l'urna, i mirem de quin color és.
Considera els successos següents:
$$A_1=$$"Treure una bola blanca o vermella".
$$A_2=$$"Treure una bola que no sigui groga".
$$A_3=$$"Treure una bola negra".
Descriu per quins resultats està format cada un dels successos.
Considera ara els següents successos: $$A_1\cup A_3$$, $$A_2-A_1$$, $$\overline{A_1}\cap A_3$$.
Descriu per quins resultats està format cada un dels successos.
Desenvolupament:
En primer lloc, hem de determinar quin és l'espai mostral. Ja sabem que els resultats possibles són treure una bola blanca $$(B)$$, treure una bola vermella $$(R)$$, treure una bola groga $$(G)$$ i treure una bola negra $$(N)$$. Així doncs, $$\Omega=\lbrace B,R,G,N \rbrace$$.
El succés $$A_1=$$"Treure una bola blanca o vermella" està format per $$A_1= \lbrace B, R \rbrace$$. Ho podem veure directament, o bé considerant que $$A_1$$ és la unió de "treure una bola blanca", $$\lbrace B \rbrace$$, i "treure una bola vermella", $$\lbrace R \rbrace$$.
El succés $$A_2 =$$"Treure una bola que no sigui groga" és el contrari del succés "treure una bola groga"" $$= \lbrace G \rbrace$$. És a dir, $$A_2=\overline{G}$$. Així doncs, sabem que podem trobar $$A_2$$ fent $$A_2=\Omega-\lbrace G \rbrace=\lbrace B,R,G,N \rbrace-\lbrace G \rbrace=\lbrace B,R,G \rbrace$$.
El succés $$A_3=$$"Treure una bola negra"$$=\lbrace N \rbrace$$.
Considerem ara les operacions entre successos que se'ns plantegen:
$$A_1\cup A_3 =$$"Treure una bola blanca o vermella, o treure una bola negra" $$= \lbrace B,R \rbrace \cup \lbrace N \rbrace=\lbrace B,R,N \rbrace $$.
$$A_2-A_1$$ és la diferència de $$A_2$$ i $$A_1$$. Està format per tots els successos que estan en $$A_2$$, però no en $$A_1$$. Així doncs, $$A_2-A_1=\lbrace B,R,G \rbrace-\lbrace B,R \rbrace=\lbrace G \rbrace$$.
Per calcular $$\overline{A_1}\cap A_3$$, primer hem de calcular què és $$\overline{A_1}$$. Hem vist que el complementari de $$A_1$$ es pot trobar fent $$\overline{A_1}=\Omega - A_1 = \lbrace B,R,G,N \rbrace - \lbrace B,R \rbrace = \lbrace G,N \rbrace.$$
Ara podem calcular el succés $$\overline{A_1} \cap A_3$$, format per tots els esdeveniments que compleixen $$\overline{A_1}$$ i $$A_3$$. El trobem fent $$\overline{A_1}\cap A_3= \lbrace G,N \rbrace \cap \lbrace N \rbrace = \lbrace N \rbrace$$.
Solució:
$$A_1=\lbrace B,R \rbrace$$, $$A_2=\lbrace B,R,G \rbrace$$, $$A_3=\lbrace N \rbrace$$.
$$A_1 \cup A_3 = \lbrace B,R,N \rbrace$$, $$A_2-A_1=\lbrace G \rbrace$$, $$\overline{A_1}\cap A_3=\lbrace N \rbrace$$.