Exercicis de Teorema de la probabilitat total

Desenvolupament:

Representem per $L=$ "jugar contra el Liverpool", $C=$ "jugar contra el Chelsea".

Tenim tres successos possibles: $G=$ "guanyar", $E=$ "empatar", $P=$ "perdre". Ens pregunten per la probabilitat $P(G\cup E)$.

Representem el problema en un diagrama en arbre. Observem que, encara que l'enunciat no ens dóna totes les dades, podem trobar els que ens falten: si contra el Liverpool hi ha un $0,6$ de probabilitats de guanyar i un $0,15$ d'empatar, llavors ha d'haver-hi un $0,25$ de probabilitats de perdre, ja que només pot passar una de les tres coses, i per tant, s'ha de complir que $0,6+0,15+0,25=1$. Pel mateix motiu, la possibilitat d'empatar contra el Chelsea és de $1-0,3-0,4=0,3$.

Apliquem el teorema de la probabilitat total. $$P(G\cup E)=P(L)\cdot P(G/L)+P(L)\cdot P(E/L)+P(C)\cdot P(G/C)+P(C)\cdot P(E/C)$$

En el nostre cas,

$$P(G\cup E)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 0,6+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 0,15+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 0,3+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 0,3=0,675$$

També podríem haver resolt el problema calculant la probabilitat de perdre, que ens donaria $0,325$, i llavors calcular la probabilitat de guanyar o empatar fent el complementari.

És a dir, $P(G\cup E)=1-P(P)=1-0,325=0,675$ (ens dóna el mateix).

Solució:

La probabilitat és $P(G\cup E)=0,675$.

Amagar desenvolupament i solució