En els sorteigs per a la Copa d'Europa de futbol, ens pot tocar, amb la mateixa probabilitat, contra el Liverpool o contra el Chelsea. Si juguem contra el Liverpool, hi ha un 60% de probabilitats de guanyar, i un 15% de probabilitats d'empatar. Si juguem contra el Chelsea, hi ha un 30% de probabilitats de guanyar, i un 40% de probabilitats de perdre. Quina probabilitat tenim de, com a mínim, empatar?
Desenvolupament:
Representem per $$L =$$ "jugar contra el Liverpool", $$C =$$ "jugar contra el Chelsea".
Tenim tres successos possibles: $$G =$$ "guanyar", $$E =$$ "empatar", $$P =$$ "perdre". Ens pregunten per la probabilitat $$P(G\cup E)$$.
Representem el problema en un diagrama en arbre. Observem que, encara que l'enunciat no ens dóna totes les dades, podem trobar els que ens falten: si contra el Liverpool hi ha un $$0,6$$ de probabilitats de guanyar i un $$0,15$$ d'empatar, llavors ha d'haver-hi un $$0,25$$ de probabilitats de perdre, ja que només pot passar una de les tres coses, i per tant, s'ha de complir que $$0,6 + 0,15 + 0,25 = 1$$. Pel mateix motiu, la possibilitat d'empatar contra el Chelsea és de $$1 - 0,3-0,4 = 0,3$$.
Apliquem el teorema de la probabilitat total. $$$ P(G\cup E)=P(L)\cdot P(G/L)+P(L)\cdot P(E/L)+P(C)\cdot P(G/C)+ P(C)\cdot P(E/C)$$$
En el nostre cas,
$$$ P(G\cup E)=\dfrac{1}{2}\cdot 0,6 + \dfrac{1}{2}\cdot 0,15 + \dfrac{1}{2}\cdot 0,3 + \dfrac{1}{2}\cdot 0,3=0,675$$$
També podríem haver resolt el problema calculant la probabilitat de perdre, que ens donaria $$0,325$$, i llavors calcular la probabilitat de guanyar o empatar fent el complementari.
És a dir, $$ P(G\cup E)= 1- P(P)=1-0,325=0,675 $$ (ens dóna el mateix).
Solució:
La probabilitat és $$ P(G\cup E)=0,675$$.