Exercicis de Unió i intersecció arbitràries

Calcula:

  1. ⋂n≥2(1,2n23n+1)
  2. ⋃n≥1[−5n−1n+52,7n28−n]
Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

  1. Com que l'extrem inferior de tots els intervals és el mateix, per trobar la intersecció, només necessitem trobar el ínfim dels extrems superiors.

    Per trobar-lo, anem a estudiar la successió d'extrems:

    {2n23n+1}n∈N, es tracta d'una successió divergent (ja que el grau del numerador és més gran al grau del denominador), i és a més una successió creixent, de manera que, el mínim és el primer element del a successió: a2=2⋅223⋅2+1=87 Així doncs, la intersecció ens queda: ⋂n≥2(1,2n23n+1)=(1,87)

    Observem que si també haguéssim afegit el primer membre de la successió, com que a1=2⋅123⋅1+1=12 Hauríem d'afegir l'interval (12,1), i llavors la intersecció seria buida: ⋂n≥1(1,2n23n+1)=∅

  2. Per estudiar aquesta unió, anem a estudiar el comportament de les successions dels extrems.

    Començant per l'extrem inferior:

    {−5n−1n+52}n∈N es tracta d'una successió convergent a −5 i decreixent:

    −5n−1n+52>−5(n+1)−1n+1+525n−1n+52<5n+4n+53 (5n−1)(n+53)<(5n+4)(n+52) 5n2+265n−n−53<5n2+260n+4n+208 5n2+264n−53<5n2+260n+4n+208 −53<208

    Així doncs, tenim que l'extrem inferior de la unió, és el límit de la successió, és a dir, −5.

    Estudiem ara el límit superior. La successió d'extrems és:

    {7n28+n}n∈N. En tenir el grau del numerador major que el grau del denominador, sabem que es tracta d'una successió creixent i divergent a +∞, sent aquest el suprem d'aquesta successió.

    És a dir, hem de: ⋃n≥1[−5n−1n+52,7n28−n]=[−5,+∞)

Solució:

  1. ⋂n≥2(1,2n23n+1)=(1,87)
  2. ⋃n≥1[−5n−1n+52,7n28−n]=[−5,+∞)
Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria