Ejercicios de Unión e intersección arbitrarias

Desarrollo:

1. Como que el extremo inferior de todos los intervalos es el mismo, para encontrar la intersección, solo necesitamos encontrar el ínfimo de los extremos superiores.

   Para encontrarlo, vamos a estudiar la sucesión de extremos:

   $\{{\displaystyle \frac{2n^2}{3n+1}}{\}}_{n\in \mathbb{N}}$, se trata de una sucesión divergente (ya que el grado del numerador es mayor al grado del denominador), y es además una sucesión creciente, con lo cual, el mínimo es el primer elemento de la sucesión: $$a_2={\displaystyle \frac{2\cdot 2^2}{3\cdot 2+1}}={\displaystyle \frac{8}{7}}$$ Así pues, la intersección nos queda: $$\bigcap _{n\ge 2}(1,{\displaystyle \frac{2n^2}{3n+1}})=(1,{\displaystyle \frac{8}{7}})$$

   Observemos que si también hubiéramos añadido el primer miembro de la sucesión, como que $$a_1={\displaystyle \frac{2\cdot 1^2}{3\cdot 1+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ Tendríamos que añadir el intervalo $({\displaystyle \frac{1}{2}},1)$, y entonces la intersección seria vacía: $$\bigcap _{n\ge 1}(1,{\displaystyle \frac{2n^2}{3n+1}})=\mathrm{\varnothing }$$

2. Para estudiar esta unión, vamos a estudiar el comportamiento de las sucesiones de los extremos.

   Empezando por el extremo inferior:

   $\{-{\displaystyle \frac{5n-1}{n+52}}{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ se trata de una sucesión convergente a $-5$ y decreciente:

   $$-{\displaystyle \frac{5n-1}{n+52}}>-{\displaystyle \frac{5(n+1)-1}{n+1+52}}{\displaystyle \frac{5n-1}{n+52}}<{\displaystyle \frac{5n+4}{n+53}}$$ $$(5n-1)(n+53)<(5n+4)(n+52)$$ $$5n^2+265n-n-53<5n^2+260n+4n+208$$ $$5n^2+264n-53<5n^2+260n+4n+208$$ $$-53<208$$

   Así pues, tenemos que el extremo inferior de la unión, es el limite de la sucesión, es decir, $-5$.

   Estudiamos ahora el límite superior. La sucesión de extremos es:

   $\{{\displaystyle \frac{7n^2}{8+n}}{\}}_{n\in \mathbb{N}}.$ Al tener el grado del numerador mayor que el grado del denominador, sabemos que se trata de una sucesión creciente y divergente a $+\mathrm{\infty }$, siendo este el supremo de esta sucesión.

   Es decir, tenemos que: $$\bigcup _{n\ge 1}[-{\displaystyle \frac{5n-1}{n+52}},{\displaystyle \frac{7n^2}{8-n}}]=[-5,+\mathrm{\infty })$$

Solución:

1. $\bigcap _{n\ge 2}(1,{\displaystyle \frac{2n^2}{3n+1}})=(1,{\displaystyle \frac{8}{7}})$
2. $\bigcup _{n\ge 1}[-{\displaystyle \frac{5n-1}{n+52}},{\displaystyle \frac{7n^2}{8-n}}]=[-5,+\mathrm{\infty })$

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