Unión e intersección arbitrarias

Ejemplo

Supongamos que tenemos la familia de intervalos: $$J_1=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),J_2=(-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}}),J_3=({\displaystyle \frac{2}{5}},{\displaystyle \frac{8}{3}})\text{y}$$ $$J_4=[-{\displaystyle \frac{2}{7}},{\displaystyle \frac{1}{8}}]$$ Y queremos calcular su unión e intersección.

Empecemos por la unión: Según la definición, para calcular la unión de los cuatro intervalos, es necesario saber cuanto vale la unión de los tres primeros. Y para calcular esta unión, necesitaremos la unión de los dos primeros. Este proceso es el que se conoce por recursión.

Empezemos pues calculando la unión de los dos primeros:

$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})\cup (-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$ ya que $(-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})\subseteq (-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}).$

A continuación hacemos la unión de los tres primeros intervalos:

$$J_1\cup J_2\cup J_3=(J_1\cup J_2)\cup J_3=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})\cup ({\displaystyle \frac{2}{5}},{\displaystyle \frac{8}{3}})=$$ $$=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{8}{3}})$$

Finalmente, solo nos falta hacer la unión con el cuarto intervalo:

$$\bigcup _{n\le 4}{J}_n=J_1\cup J_2\cup J_3\cup J_4=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{8}{3}})\cup [-{\displaystyle \frac{2}{7}},{\displaystyle \frac{1}{8}}]=$$ $$=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{8}{3}})$$

Para hacer la intersección procedemos del mismo modo. Primero hacemos la intersección entre los dos primeros, que al estar el segundo incluido al primero, la intersección nos da el segundo:

$J_1\cap J_2=(-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$

A continuación hacemos la intersección con el tercer intervalo:

$(J_1\cap J_2)\cap J_3=(-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})\cap ({\displaystyle \frac{2}{5}},{\displaystyle \frac{8}{3}})=\mathrm{\varnothing }$

ya que ${\displaystyle \frac{1}{3}}<{\displaystyle \frac{2}{5}}$. Finalmente, como la intersección con el vacío es siempre vacía, tenemos que:

$\bigcap _{n\le 4}{J}_n=J_1\cap J_2\cap J_3\cap J_4=\mathrm{\varnothing }$

Ejemplo

Consideremos la familia de intervalos de la forma: $$(-{\displaystyle \frac{1}{n}},{\displaystyle \frac{1}{n}})$$ y queremos estudiar la unión y la intersección de todos ellos, si tomamos diferentes valores de $n$ naturales. Lo denotaremos por:

$$\bigcup _{n\ge 1}(-{\displaystyle \frac{1}{n}},{\displaystyle \frac{1}{n}})\text{y}\bigcap _{n\ge 1}(-{\displaystyle \frac{1}{n}},{\displaystyle \frac{1}{n}})$$

Entonces, si consideramos la sucesión del extremo inferior: $\{-{\displaystyle \frac{1}{n}}{\}}_n$ vemos que se trata de una sucesión estrictamente creciente, y con límite $0$.

Así mismo, la sucesión correspondiente a los limites superiores: $\{{\displaystyle \frac{1}{n}}{\}}_n$ es una sucesión estrictamente decreciente y con límite $0$.

Lo que nos da que nuestra sucesión de intervalos, $$\{(-{\displaystyle \frac{1}{n}},{\displaystyle \frac{1}{n}}){\}}_n$$ va construyendo intervalos cada vez menor (el extremo inferior crece, mientras el extremo superior decrece) y tiende a un intervalo tal que ambos extremos son $0$: $$(0,0)=\mathrm{\varnothing }$$

Una vez estudiadas ambas sucesiones, construimos la unión de la familia de intervalos buscando el ínfimo y el supremo de $\{-{\displaystyle \frac{1}{n}}{\}}_n$ y $\{{\displaystyle \frac{1}{n}}{\}}_n$ respectivamente, que en ambos casos es el primer término $$a_1=-{\displaystyle \frac{1}{1}}=-1\text{y}{b}_1={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$$ por ser la primera sucesión creciente y la segunda decreciente. En resumen, tenemos: $$\bigcup _{n\ge 1}(-{\displaystyle \frac{1}{n}},{\displaystyle \frac{1}{n}})=(-1,1)$$

Análogamente, para encontrar la intersección, buscamos el supremo y el ínfimo de las dos sucesiones, que equivale a sus límites, por ser la primera creciente y la segunda decreciente. De esta manera, nos queda que: $$\bigcap _{n\ge 1}(-{\displaystyle \frac{1}{n}},{\displaystyle \frac{1}{n}})=(0,0)=\mathrm{\varnothing }$$