Unión, intersección y complementario de intervalos

Unión de intervalos

Dados dos intervalos reales cualesquiera, su unión es un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al primer intervalo, y todos los elementos que pertenecen al segundo.

La unión de los intervalos $(a,b)$ y $(c,d)$ se denota por $(a,b)\cup (c,d)$ y se calcula:

$$(a,b)\cup (c,d)=\{x\in \mathbb{R}|x\in (a,b)\text{o bien}x\in (c,d)\}=$$ $$=\{x\in \mathbb{R}|a<x<b\text{o bien}c<x<d\}$$

En función del orden en que se encuentren los números $a,b,c$ y $d$ el resultado será uno u otro. Al ser $(a,b)$ y $(c,d)$ dos intervalos, necesariamente $a<b$ y $c<d$, pero puede cambiar la posición relativa de los extremos de un intervalo respeto a los extremos del otro. De esta forma, podemos encontrarnos la casuística siguiente:

• Si $a<b<c<d$ entonces la unión $(a,b)\cup (c,d)$ da como resultado el conjunto formado por ambos intervalos: $$(a,b)\cup (c,d)=\{x\in \mathbb{R}|x\in (a,b)\text{o bien}x\in (c,d)\}$$ El resultado será el mismo si $c<d<a<b.$

• Si $a<c<d<b$, tenemos que el intervalo $(c,d)$ está incluido en $(a,b)$, entonces, $$(a,b)\cup (c,d)=\{x\in \mathbb{R}|a<x<b,\text{o}c<x<d\}=$$ $$=\{x\in \mathbb{R}|a<x<b\}=$$ $$=(a,b)$$

Análogamente, si $c<a<b<d$, obtenemos que $(a,b)\cup (c,d)=(c,d)$. Es decir, si un intervalo está incluido en otro, la unión de ambos es igual al intervalo mayor.

• si $c<a<d<b$, entonces tenemos que $$(a,b)\cup (c,d)=\{x\in \mathbb{R}|a<x<b,\text{o bien}c<x<d\}$$ Pero al ser $c<a$ y $d<b$, tenemos que ambos intervalos se sobreponen de tal forma que nos queda un único intervalo: $$(a,b)\cup (c,d)=\{x\in \mathbb{R}|c<x<b\}=(c,b)$$

De igual forma, si $a<c<b<d$ obtenemos que: $$(a,b)\cup (c,d)=\{x\in \mathbb{R}|a<x<d\}=(a,d)$$

Observemos ahora que la unión de intervalos no tiene por qué ser siempre un solo intervalo. Además para el caso de intervalos no abiertos, ya sean cerrados o mixtos, el resultado es análogo, solamente hay que tener en cuenta que las desigualdades estrictas seran desigualdades no estrictas.

En este caso la unión de dos intervalos nos ha dado un intervalo.

Intersección de intervalos

Dados dos intervalos reales cualesquiera, su intersección es un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos intervalos.

La intersección de los intervalos $(a,b)$ y $(c,d)$ se denota por $$(a,b)\cap (c,d)$$ y se calcula: $$(a,b)\cap (c,d)=\{x\in \mathbb{R}|x\in (a,b)\text{y}x\in (c,d)\}=$$ $$=\{x\in \mathbb{R}|a<x<b\text{y}c<x<d\}$$

En función del orden en que se encuentren los números $a,b,c$ y $d$ el resultado será uno u orto. Igual que en la unión, tenemos necesariamente que $a<b$ y $c<d$, pero puede cambiar la posición relativa de los extremos de un intervalo respeto a los extremos del otro. De esta forma, podemos encontrarnos la casuística siguiente:

• Si $a<c<d<b$, tenemos que el intervalo $(c,d)$ está incluido en $(a,b)$, entonces, $$(a,b)\cap (c,d)=\{x\in \mathbb{R}|a<x<b,\text{y}c<x<d\}=$$ $$=\{x\in \mathbb{R}|a<c<x<d<b\}=$$ $$=(c,d)$$

Análogamente, si $c<a<b<d$, obtenemos que $(a,b)\cap (c,d)=(a,b)$. Es decir, si un intervalo está incluido en otro, la intersección de ambos es igual al intervalo menor.

• si $c<a<d<b$, entonces tenemos que $$(a,b)\cap (c,d)=\{x\in \mathbb{R}|a<x<b,\text{y}c<x<d\}=$$ $$=\{x\in \mathbb{R}|c<a<x<d<b\}=$$ $$=(a,d)$$

De igual forma, si $a<c<b<d$, obtenemos que: $$(a,b)\cap (c,d)=\{x\in \mathbb{R}|b<x<c\}=(b,c)$$

• Si $a<b<c<d$ entonces la intersección $(a,b)\cap (c,d)$ nos da: $$(a,b)\cap (c,d)=\{x\in \mathbb{R}|x\in (a,b)\text{y}x\in (c,d)\}$$
  pero al ser $b<c$, tenemos que no existe ningún valor $x$ que pertenezca a ambos intervalos simultáneamente. En este caso diremos que la intersección es vacía y lo denotaremos por el símbolo $\mathrm{\varnothing }$: $$(a,b)\cap (c,d)=\mathrm{\varnothing }.$$ El resultado será el mismo si $c<d<a<b$.

En el caso de tener dos intervalos cuya intersección sea el vacío, diremos que son dos intervalos disjuntos.

El concepto vacío, $\mathrm{\varnothing }$, se considera también un intervalo, ya que $\mathrm{\varnothing }=(a,a)$ para cualquier número real $a$, así que, a diferencia de la unión, la intersección de intervalos es siempre un intervalo, aunque se puede tratar del caso particular del intervalo vacío.

Complementario

El paso a complementario es una operación uno-ária, es decir, que afecta a un único intervalo.

Dado un intervalo cualquiera su complementario es el conjunto de números que no pertenecen al intervalo.

Denotaremos al complementario del intervalo $J=(a,b)$ por $$\bar{J}=\overline{(a,b)}$$

Para calcularlo haremos la casuística en función de si se trata de un intervalo acotado o no acotado:

• Si el intervalo es acotado, tenemos: $$\overline{(a,b)}=\{x\in \mathbb{R}|x\notin (a,b)\}=$$ $$=\{x\in \mathbb{R}|x\le a,\text{o bien}b\le x\}=$$ $$=(-\mathrm{\infty },a]\cup [b,+\mathrm{\infty })$$

• Si el intervalo no es acotado, tenemos: $$\overline{(-\mathrm{\infty },b)}=\{x\in \mathbb{R}|x\notin (-\mathrm{\infty },b)\}=$$ $$=\{x\in \mathbb{R}|b\le x\}=$$ $$=[b,+\mathrm{\infty })$$

O análogamente,

$$\overline{(a,+\mathrm{\infty })}=\{x\in \mathbb{R}|x\notin (a,+\mathrm{\infty })\}=$$ $$=\{x\in \mathbb{R}|x\le a\}=$$ $$=(-\mathrm{\infty },a]$$

En el caso particular del intervalo vacío, $\mathrm{\varnothing }$, tenemos que su complementario son todos los elementos que no pertenecen a $\mathrm{\varnothing }$, pero al no haber ningún elemento en $\mathrm{\varnothing }$, tenemos que el complementario del vacío es el total: $$\bar{\mathrm{\varnothing }}=\{x\in \mathbb{R}|x\notin \mathrm{\varnothing }=\mathbb{R}\}$$

Hay que remarcar, además, que el total es también un intervalo, ya que: $\mathbb{R}=(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$.