Unió, intersecció i complementari d'intervals

Unió d'intervals

Donats dos intervals reals qualssevol, la seva unió és un conjunt format per tots els elements que pertanyen al primer interval, i tots els elements que pertanyen al segon.

La unió dels intervals $$(a,b)$$ i $$(c,d)$$ es denota per $$(a,b)\cup (c,d)$$ i es calcula:

$$$(a,b)\cup (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\in(a,b) \ \mbox{o bé} \ x\in(c,d)\}=$$$ $$$=\{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < b \ \mbox{o bé} \ c < x < d\}$$$

En funció de l'ordre en què es troben els números $$a, b, c$$ i $$d$$ el resultat serà un o altre. En ser $$(a,b)$$ i $$(c,d)$$ dos intervals, necessàriament $$a < b$$ i $$c < d$$, però pot canviar la posició relativa dels extrems d'un interval respecte als extrems de l'altre. D'aquesta manera, podem trobar la casuística següent:

• Si $$a < b < c < d$$ llavors la unió $$(a,b) \cup (c,d)$$ dóna com a resultat el conjunt format pels dos intervals: $$$(a,b) \cup (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\in(a,b) \ \mbox{o bé} \ x\in(c,d) \} $$$ El resultat serà el mateix si $$c < d < a < b.$$

• Si $$a < c < d < b$$, tenim que l'interval $$(c,d)$$ s'inclou en $$(a,b)$$, llavors, $$$(a,b) \cup (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < b, \ \mbox{o} \ c < x < d\} = $$$ $$$= \{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < b\}=$$$ $$$=(a,b)$$$

Anàlogament, si $$c < a < b < d$$, obtenim que $$(a,b) \cup (c,d)=(c,d)$$. És a dir, si un interval està inclòs en un altre, la unió de tots dos és igual a l'interval major.

• Si $$c < a < d < b$$, llavors tenim que $$$(a,b) \cup (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < b, \ \mbox{o bé} \ c < x < d\}$$$ Però en ser $$c < a$$ i $$d < b$$, tenim que dos intervals es sobreposen de manera que ens queda un únic interval: $$$(a,b) \cup (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ c < x < b\} = (c,b)$$$

De la mateixa manera, si $$a < c < b < d$$ obtenim que: $$$(a,b) \cup (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < d\} = (a,d)$$$

Observem ara que la unió d'intervals no té per què ser sempre un sol interval. A més, per al cas d'intervals no oberts, ja siguin tancats o mixtes, el resultat és anàleg, només s'ha de tenir en compte que les desigualtats estrictes passaran a ser desigualtats no estrictes.

En aquest cas la unió de dos intervals ens ha donat un interval.

Intersecció d'intervals

Donats dos intervals reals qualssevol, la seva intersecció és un conjunt format per tots els elements que pertanyen a tots dos intervals.

La intersecció dels intervals $$(a,b)$$ i $$(c,d)$$ es denota per $$$(a,b)\cap(c,d)$$$ i es calcula: $$$(a,b)\cap (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\in(a,b) \ \mbox{y} \ x\in(c,d)\}=$$$ $$$=\{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < b \ \mbox{y} \ c < x < d\}$$$

En funció de l'ordre en què es troben els números $$a, b, c$$ i $$d$$ el resultat serà un o altre. Igual que en la unió, tenim que $$a < b$$ i $$c < d$$, però pot canviar la posició relativa dels extrems d'un interval respecte als extrems de l'altre. D'aquesta manera, podem trobar la casuística següent:

• Si $$a < c < d < b$$, tenim que l'interval $$(c,d)$$ s'inclou en $$(a,b)$$, llavors, $$$(a,b) \cap (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < b, \ \mbox{y} \ c < x < d\} = $$$ $$$= \{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < c < x < d < b\}=$$$ $$$=(c,d)$$$

Anàlogament, si $$c < a < b < d$$, obtenim que $$(a,b) \cap (c,d)=(a,b)$$. És a dir, si un interval està inclòs en un altre, la intersecció d'ambdós és igual a l'interval menor.

• Si $$c < a < d < b$$, llavors tenim que $$$(a,b) \cap (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ a < x < b, \ \mbox{y} \ c < x < d\} =$$$ $$$=\{x\in\mathbb{R} \ | \ c < a < x < d < b\} =$$$ $$$=(a,d)$$$

De la mateixa manera, si $$a < c < b < d$$, obtenim que: $$$(a,b) \cap (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ b < x < c\} = (b,c)$$$

• Si $$a < b < c < d$$ llavors la intersecció $$(a,b) \cap (c,d)$$ ens dóna: $$$(a,b) \cap (c,d) = \{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\in(a,b) \ \mbox{y} \ x\in(c,d) \} $$$
  però en ser $$b < c$$, tenim que no hi ha cap valor $$x$$ que pertanyi a dos intervals simultàniament. En aquest cas direm que la intersecció és buida i el denotarem pel símbol $$\emptyset$$: $$$(a,b) \cap (c,d)=\emptyset.$$$ El resultat serà el mateix si $$c < d < a < b$$.

En el cas de tenir dos intervals tals que la intersecció sigui el buit, direm que són dos intervals disjunts.

El concepte buit, $$\emptyset$$, es considera també un interval, ja que $$\emptyset=(a,a)$$ per a qualsevol nombre real $$a$$,així que, a diferència de la unió, la intersecció d'intervals és sempre un interval, encara que es pot tractar del cas particular de l'interval buit.

Complementari

El pas a complementari és una operació que afecta un únic interval.

Donat un interval qualsevol el seu complementari és el conjunt de nombres que no pertanyen a l'interval.

Denotarem el complementari de l'interval $$J=(a,b)$$ per $$$\overline{J}=\overline{(a,b)}$$$

Per calcular farem la casuística en funció de si es tracta d'un interval fitat o no fitat:

• Si l'interval és tancat, tenim: $$$\overline{(a,b)}= \{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\notin (a,b)\} =$$$ $$$=\{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\leq a, \ \mbox{o bé} \ b\leq x\}=$$$ $$$=(-\infty,a]\cup [b,+\infty)$$$

• Si l'interval no és fitat, tenim: $$$\overline{(-\infty,b)}= \{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\notin (-\infty,b)\} =$$$ $$$=\{ x\in\mathbb{R} \ | \ b\leq x\}=$$$ $$$=[b,+\infty)$$$

O anàlogament,

$$$\overline{(a,+\infty)}= \{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\notin (a,+\infty)\} =$$$ $$$=\{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\leq a\}=$$$ $$$=(-\infty,a]$$$

En el cas particular de l'interval buit, $$\emptyset$$, tenim que el seu complementari són tots els elements que no pertanyen a $$\emptyset$$, però en no haver-hi cap element a $$\emptyset$$, tenim que el complementari del buit és el total: $$$\overline{\emptyset}=\{ x\in\mathbb{R} \ | \ x\notin \emptyset= \mathbb{R}\}$$$

Cal remarcar, a més, que el total és també un interval, ja que: $$\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$$.