Exercicis de Unió, intersecció i complementari d'intervals

Desenvolupament:

1. Calculem primer la intersecció, i al resultat li calcularem el complementari. Observant els extrems dels intervals donats, tenim l'ordre següent: $-2<1<3<8$

   Amb el que tenim que els valors entre $1$ i $3$ pertanyen a tots dos intervals, i amb la qual cosa, pertanyen a la intersecció. Així doncs tenim que el resultat de la intersecció és: $$(1,8)\cap [-2,3]=[1,3)$$ Ara només falta calcular el complementari d'aquest interval: $$\overline{[1,3)}=(-\mathrm{\infty },1)\cup [3,+\mathrm{\infty })$$

2. Calculem primer els complementaris: $$\overline{[\sqrt{5},9]}=(-\mathrm{\infty },\sqrt{5})\cup (9,+\mathrm{\infty })$$ $$\stackrel{―}{(-2,{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}})}=(-\mathrm{\infty },-2]\cup [{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}},+\mathrm{\infty })$$

   Llavors, com que ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}<\sqrt{5}$, tenim que la unió és el total $\mathbb{R}.$

3. Tenim que: $\overline{(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{5}{7}})\cup \stackrel{―}{(-4,+\mathrm{\infty })}}=\overline{(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{5}{7}})}\cap \overline{\stackrel{―}{(-4,+\mathrm{\infty })}}$

   Però com que el complementari del complementari és el mateix conjunt, ens queda:

   $\overline{(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{5}{7}})}\cap \overline{\stackrel{―}{(-4,+\mathrm{\infty })}}=\overline{(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{5}{7}})}\cap (-4,+\mathrm{\infty })$

   Si calculem el complementari: $\overline{(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{5}{7}})}=[-{\displaystyle \frac{5}{7}},+\mathrm{\infty })$

   Així que finalment, calculem la intersecció:

   $$[-{\displaystyle \frac{5}{7}},+\mathrm{\infty })\cap (-4,+\mathrm{\infty })=[-{\displaystyle \frac{5}{7}},+\mathrm{\infty })$$

Solució:

1. $(-\mathrm{\infty },1)\cup [3,+\mathrm{\infty }):$ no és un interval, ja que es tracta de la unió de dos intervals, tots dos no acotats i un obert i l'altre tancat.

2. $\mathbb{R}=(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }):$ és un interval no acotat.

3. $[-{\displaystyle \frac{5}{7}},+\mathrm{\infty }):$ és un interval tancat, i no fitat superiorment.

Amagar desenvolupament i solució