Exercicis de Unió, intersecció i complementari d'intervals

Desenvolupament:

1. Calculem primer la intersecció, i al resultat li calcularem el complementari. Observant els extrems dels intervals donats, tenim l'ordre següent: $$-2 < 1 < 3 < 8$$

   Amb el que tenim que els valors entre $$1$$ i $$3$$ pertanyen a tots dos intervals, i amb la qual cosa, pertanyen a la intersecció. Així doncs tenim que el resultat de la intersecció és: $$$(1,8)\cap[-2,3]=[1,3)$$$ Ara només falta calcular el complementari d'aquest interval: $$$\overline{[1,3)}=(-\infty,1)\cup[3,+\infty)$$$

2. Calculem primer els complementaris: $$$\overline{[\sqrt{5},9]}=(-\infty,\sqrt{5})\cup(9,+\infty)$$$ $$$\overline{(-2,\dfrac{\sqrt{2}}{3})}=(-\infty,-2]\cup[\dfrac{\sqrt{2}}{3},+\infty)$$$

   Llavors, com que $$\dfrac{\sqrt{2}}{3} < \sqrt{5}$$, tenim que la unió és el total $$\mathbb{R}.$$

3. Tenim que: $$\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})\cup\overline{(-4,+\infty)}}= \overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})} \cap \overline{\overline{(-4,+\infty)}}$$

   Però com que el complementari del complementari és el mateix conjunt, ens queda:

   $$\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})} \cap \overline{\overline{(-4,+\infty)}}=\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})} \cap (-4,+\infty)$$

   Si calculem el complementari: $$\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})}=[-\dfrac{5}{7},+\infty)$$

   Així que finalment, calculem la intersecció:

   $$$[-\dfrac{5}{7},+\infty)\cap(-4,+\infty)=[-\dfrac{5}{7},+\infty) $$$

Solució:

1. $$(-\infty,1)\cup[3,+\infty):$$ no és un interval, ja que es tracta de la unió de dos intervals, tots dos no acotats i un obert i l'altre tancat.

2. $$\mathbb{R}=(-\infty, +\infty):$$ és un interval no acotat.

3. $$[-\dfrac{5}{7},+\infty):$$ és un interval tancat, i no fitat superiorment.

Amagar desenvolupament i solució