Ejercicios de Unión, intersección y complementario de intervalos

Desarrollo:

1. Calculamos primero la intersección, y al resultado le calcularemos el complementario. Observando los extremos de los intervalos dados, tenemos el orden siguiente: $$-2 < 1 < 3 < 8$$

   Con lo que tenemos que los valores entre $$1$$ y $$3$$ pertenecen a ambos intervalos, y con lo cual, pertenecen a la intersección. Así pues tenemos que el resultado de la intersección es: $$$(1,8)\cap[-2,3]=[1,3)$$$ Ahora solamente resta calcular el complementario de este intervalo: $$$\overline{[1,3)}=(-\infty,1)\cup[3,+\infty)$$$

2. Calculamos primero los complementarios: $$$\overline{[\sqrt{5},9]}=(-\infty,\sqrt{5})\cup(9,+\infty)$$$ $$$\overline{(-2,\dfrac{\sqrt{2}}{3})}=(-\infty,-2]\cup[\dfrac{\sqrt{2}}{3},+\infty)$$$

   Entonces, como que $$\dfrac{\sqrt{2}}{3} < \sqrt{5}$$, tenemos que la unión es el total $$\mathbb{R}.$$

3. Tenemos que: $$\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})\cup\overline{(-4,+\infty)}}= \overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})} \cap \overline{\overline{(-4,+\infty)}}$$

   Pero como que el complementario del complementario es el propio conjunto, nos queda:

   $$\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})} \cap \overline{\overline{(-4,+\infty)}}=\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})} \cap (-4,+\infty)$$

   Si calculamos el complementario: $$\overline{(-\infty,-\dfrac{5}{7})}=[-\dfrac{5}{7},+\infty)$$

   Así que finalmente, calculamos la intersección:

   $$$[-\dfrac{5}{7},+\infty)\cap(-4,+\infty)=[-\dfrac{5}{7},+\infty) $$$

Solución:

1. $$(-\infty,1)\cup[3,+\infty):$$ no es un intervalo, pues se trata de la unión de dos intervalos,ambos no acotados y uno abierto y el otro cerrado.

2. $$\mathbb{R}=(-\infty, +\infty):$$ es un intervalo no acotado.

3. $$[-\dfrac{5}{7},+\infty):$$ es un intervalo cerrado, y no acotado superiormente.

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