Ejercicios de Unión, intersección y complementario de intervalos

Desarrollo:

1. Calculamos primero la intersección, y al resultado le calcularemos el complementario. Observando los extremos de los intervalos dados, tenemos el orden siguiente: $-2<1<3<8$

   Con lo que tenemos que los valores entre $1$ y $3$ pertenecen a ambos intervalos, y con lo cual, pertenecen a la intersección. Así pues tenemos que el resultado de la intersección es: $$(1,8)\cap [-2,3]=[1,3)$$ Ahora solamente resta calcular el complementario de este intervalo: $$\overline{[1,3)}=(-\mathrm{\infty },1)\cup [3,+\mathrm{\infty })$$

2. Calculamos primero los complementarios: $$\overline{[\sqrt{5},9]}=(-\mathrm{\infty },\sqrt{5})\cup (9,+\mathrm{\infty })$$ $$\stackrel{―}{(-2,{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}})}=(-\mathrm{\infty },-2]\cup [{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}},+\mathrm{\infty })$$

   Entonces, como que ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}<\sqrt{5}$, tenemos que la unión es el total $\mathbb{R}.$

3. Tenemos que: $\overline{(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{5}{7}})\cup \stackrel{―}{(-4,+\mathrm{\infty })}}=\overline{(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{5}{7}})}\cap \overline{\stackrel{―}{(-4,+\mathrm{\infty })}}$

   Pero como que el complementario del complementario es el propio conjunto, nos queda:

   $\overline{(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{5}{7}})}\cap \overline{\stackrel{―}{(-4,+\mathrm{\infty })}}=\overline{(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{5}{7}})}\cap (-4,+\mathrm{\infty })$

   Si calculamos el complementario: $\overline{(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{5}{7}})}=[-{\displaystyle \frac{5}{7}},+\mathrm{\infty })$

   Así que finalmente, calculamos la intersección:

   $$[-{\displaystyle \frac{5}{7}},+\mathrm{\infty })\cap (-4,+\mathrm{\infty })=[-{\displaystyle \frac{5}{7}},+\mathrm{\infty })$$

Solución:

1. $(-\mathrm{\infty },1)\cup [3,+\mathrm{\infty }):$ no es un intervalo, pues se trata de la unión de dos intervalos,ambos no acotados y uno abierto y el otro cerrado.

2. $\mathbb{R}=(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }):$ es un intervalo no acotado.

3. $[-{\displaystyle \frac{5}{7}},+\mathrm{\infty }):$ es un intervalo cerrado, y no acotado superiormente.

Ocultar desarrollo y solución