Exercicis de Variància i desviació típica

A totes les classes de primer de l'institut se'ls fa el mateix examen. Els professors de les tres classes de $30$ alumnes cada una es posen d'acord en corregir per obtenir la mateixa mitjana.

Les desviacions típiques de les notes de cada classe són respectivament $σ_{1} = 2, 45$ ; $σ_{2} = 3, 21$ i $σ_{3} = 2, 78$ . Trobeu la desviació típica del total de les notes de l'examen.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Aplicant la fórmula $σ = \sqrt{\frac{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} + \dots + σ_{n}^{2}}{n}} = \sqrt{\frac{2, 45^{2} + 3, 21^{2} + 2, 78^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{24, 035}{3}} =$ $= \sqrt{8, 012} = 2, 83$

Solució:

$σ = 2, 83$

Amagar desenvolupament i solució

El professor de matemàtiques deixa escollir a cada alumne l'exercici del seu gust entre els 4 exercicis proposats en l'examen. El professor els garanteix que la mitjana de les notes de cada exercici serà la mateixa. Els resultats són els següents:

$15$ alumnes trien l'exercici $1$ , resultant la desviació típica de les notes $σ_{1} = 2, 73$ .
$4$ alumnes trien l'exercici $2$ , resultant la desviació típica de les notes $σ_{2} = 1, 22$ .
$9$ alumnes trien l'exercici $1$ , resultant la desviació típica de les notes $σ_{3} = 3, 12$ .
$3$ alumnes trien l'exercici $1$ , resultant la desviació típica de les notes $σ_{4} = 2, 87$ .

Troba la variància i la desviació típica de les notes del conjunt de la classe.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Aplicant la fórmula $σ^{2} = \frac{σ_{1}^{2} k_{1} + σ_{2}^{2} k_{2} + \dots + σ_{n}^{2} k_{n}}{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{n}} = \frac{2, 73^{2} \cdot 15 + 1, 22^{2} \cdot 4 + 3, 12^{2} \cdot 9 + 2, 87^{2} \cdot 3}{15 + 4 + 9 + 3} =$ $\frac{111, 79 + 5, 95 + 87, 61 + 24, 71}{31} = \frac{230, 06}{31} = 7, 42$

Traient l'arrel es aclareix la desviació típica $σ = \sqrt{7, 42} = 2, 72$

Solució:

$σ^{2} = 7, 42$ y $σ = 2, 72$ .

Amagar desenvolupament i solució

Es tiren $10$ vegades seguides un dau, amb resultats: $1, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6$ . Calcula la variància i la desviació típica de les tirades.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Es troba la mitjana $\overset{―}{x} = \frac{1 + 1 + 1 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 6}{10} = \frac{34}{10} = 3, 4$ i la variància aplicant la fórmula: $σ^{2} = \frac{(1 - 3, 4)^{2} + (1 - 3, 4)^{2} + (1 - 3, 4)^{2} + (3 - 3, 4)^{2} + (3 - 3, 4)^{2} + (4 - 3, 4)^{2}}{10} +$ $+ \frac{(4 - 3, 4)^{2} + (5 - 3, 4)^{2} + (6 - 3, 4)^{2} + (6 - 3, 4)^{2}}{10} =$ $= \frac{2, 4^{2} + 2, 4^{2} + 2, 4^{2} + 0, 4^{2} + 0, 4^{2} + 0, 6^{2} + 0, 6^{2} + 1, 6^{2} + 2, 6^{2} + 2, 6^{2}}{10} =$ $= \frac{5, 76 + 5, 76 + 5, 76 + 0, 16 + 0, 16 + 0, 36 + 0, 36 + 2, 56 + 6, 76 + 6, 76}{10} =$ $= \frac{34, 4}{10} = 3, 44$

$σ = \sqrt{3, 44} = 1, 85$

Solució:

$σ^{2} = 3, 44$ ; $σ = 1, 85$ .

Amagar desenvolupament i solució

Tenim la temperatura de diferents ciutats d'Espanya: Avilés $(11^{\circ} C)$ , Barcelona $(17^{\circ} C)$ , Madrid $(21^{\circ} C)$ , Mallorca $(18^{\circ} C)$ , Valencia $(18^{\circ} C)$ , Marbella $(19^{\circ} C)$ , Las Palmas $(20^{\circ} C)$ .

Calculeu la desviació típica d'aquestes temperatures.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Es troba la mitjana dels valors: $\overset{―}{x} = \frac{11 + 17 + 18 + 18 + 19 + 20 + 21}{7} = \frac{124}{7} ≃ 17, 7.$

Es calcula la variància aplicant la fórmula: $σ^{2} = \frac{(11 - 17, 7)^{2} + (17 - 17, 7)^{2} + (18 - 17, 7)^{2} + (18 - 17, 7)^{2} + (19 - 17, 7)^{2}}{7} +$ $+ \frac{(20 - 17, 7)^{2} + (21 - 17, 7)^{2}}{7} = \frac{6, 7^{2} + 0, 7^{2} + 0, 3^{2} + 0, 3^{2} + 1, 3^{2} + 2, 3^{2} + 3, 3^{2}}{7} =$ $= \frac{44, 89 + 0, 49 + 0, 09 + 0, 09 + 1, 69 + 5, 29 + 10, 89}{7} =$ $= \frac{63, 43}{7} ≃ 9, 06$ i s'aïlla la desviació típica fent l'arrel $σ = \sqrt{9, 06} ≃ 3, 01$

Solució:

$σ = 3, 01$

Amagar desenvolupament i solució

Seguidament es mostra l'anotació d'un equip de bàsquet. Troba la desviació típica existent. $73 - PANATINAIKOS (21 + 27 + 8 + 17) : Spanoulis (13), Pekovic (6), Fotsis (13), Nicholas (7), Perperoglou (6), Batiste (6), Diamantidis (10), Jasikevicius (10), Tsartaris (2)$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Es troba la mitjana $\overset{―}{x} = \frac{73}{9} ≃ 8, 1$ . Seguidament es calcula la variància: $σ^{2} = \frac{(13 - 8, 1)^{2} + (13 - 8, 1)^{2} + (10 - 8, 1)^{2} + (10 - 8, 1)^{2} + (7 - 8, 1)^{2} + (6 - 8, 1)^{2}}{9} +$ $+ \frac{(6 - 8, 1)^{2} + (6 - 8, 1)^{2} + (2 - 8, 1)^{2}}{9} =$ $= \frac{4, 9^{2} + 4, 9^{2} + 1, 9^{2} + 1, 1^{2} + 2, 1^{2} + 2, 1^{2} + 2, 1^{2} + 6, 1^{2}}{9} =$ $= \frac{24, 01 + 24, 01 + 3, 61 + 3, 61 + 1, 21 + 4, 41 + 4, 41 + 4, 41 + 37, 21}{9} =$ $= \frac{106, 89}{9} = 11, 9$ i aïllem la desviació típica $σ = \sqrt{11, 9} ≃ 3, 45$

Solució:

$σ ≃ 3, 45$

Amagar desenvolupament i solució

Veure teoria