Ejercicios de Varianza y desviación típica

Se tiran $$10$$ veces seguidas un dado, con resultados: $$1, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6$$. Calcular la varianza y la desviación típica de las tiradas.

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Desarrollo:

Se encuentra la media $$\overline{x}=\dfrac{1+1+1+3+3+4+4+5+6+6}{10}=\dfrac{34}{10}=3,4$$ promediando los resultados, y la varianza se encuentra aplicando la fórmula: $$$\sigma^2=\dfrac{(1-3,4)^2+(1-3,4)^2+(1-3,4)^2+(3-3,4)^2+(3-3,4)^2+(4-3,4)^2}{10}+$$$ $$$+\dfrac{(4-3,4)^2+(5-3,4)^2+(6-3,4)^2+(6-3,4)^2}{10}=$$$ $$$=\dfrac{2,4^2+2,4^2+2,4^2+0,4^2+0,4^2+0,6^2+0,6^2+1,6^2+2,6^2+2,6^2}{10}=$$$ $$$=\dfrac{5,76+5,76+5,76+0,16+0,16+0,36+0,36+2,56+6,76+6,76}{10}=$$$ $$$=\dfrac{34,4}{10}=3,44 \\ $$$

$$\sigma=\sqrt{3,44}=1,85$$

Solución:

$$\sigma^2=3,44$$; $$\sigma=1,85$$.

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Seguidamente se muestra la anotación de un equipo de baloncesto. Hallar la desviación típica existente. $$$73-\mbox{PANATINAIKOS}(21+27+8+17): \\ \mbox{Spanoulis}(13), \ \mbox{Pekovic}(6), \ \mbox{Fotsis}(13), \ \mbox{Nicholas}(7), \ \mbox{Perperoglou}(6), \\ \mbox{Batiste}(6), \ \mbox{Diamantidis}(10), \ \mbox{Jasikevicius}(10), \ \mbox{Tsartaris}(2)$$$

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Desarrollo:

Se encuentra la media $$\overline{x}=\dfrac{73}{9}\simeq8,1$$. Seguidamente se calcula la varianza: $$$\sigma^2=\dfrac{(13-8,1)^2+(13-8,1)^2+(10-8,1)^2+(10-8,1)^2+(7-8,1)^2+(6-8,1)^2}{9}+$$$ $$$+\dfrac{(6-8,1)^2+(6-8,1)^2+(2-8,1)^2}{9}=$$$ $$$=\dfrac{4,9^2+4,9^2+1,9^2+1,1^2+2,1^2+2,1^2+2,1^2+6,1^2}{9}=$$$ $$$=\dfrac{24,01+24,01+3,61+3,61+1,21+4,41+4,41+4,41+37,21}{9}=$$$ $$$=\dfrac{106,89}{9}=11,9$$$ y se despeja la desviación típica $$\sigma=\sqrt{11,9}\simeq 3,45$$

Solución:

$$\sigma\simeq3,45$$

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A todas las clases de primero del instituto se les hace el mismo examen. Los profesores de las tres clases de 30 alumnos cada una se ponen de acuerdo al corregir para obtener la misma media.

Las desviaciones típicas de las notas de cada clase son respectivamente $$\sigma_1=2,45$$; $$\sigma_2=3,21$$ y $$\sigma_3=2,78$$. Hallar la desviación típica del total de las notas del examen.

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Desarrollo:

Aplicando la fórmula $$$\sigma=\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\ldots+\sigma_n^2}{n}}=\sqrt{\dfrac{2,45^2+3,21^2+2,78^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{24,035}{3}}=$$$ $$$=\sqrt{8,012}=2,83$$$

Solución:

$$\sigma=2,83$$

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Tenemos la temperatura en distintas ciudades de España: Avilés $$(11^\circ C)$$, Barcelona $$(17^\circ C)$$, Madrid $$(21^\circ C)$$, Mallorca $$(18^\circ C)$$, Valencia $$(18^\circ C)$$, Marbella $$(19^\circ C)$$, Las Palmas $$(20^\circ C)$$.

Calcular la desviación típica de estas temperaturas.

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Desarrollo:

Se encuentra la media promediando los valores $$\overline{x}=\dfrac{11+17+18+18+19+20+21}{7}=\dfrac{124}{7}\simeq 17,7.$$

Se calcula la varianza aplicando la fórmula:

$$$\sigma^2=\dfrac{(11-17,7)^2+(17-17,7)^2+(18-17,7)^2+(18-17,7)^2+(19-17,7)^2}{7}+$$$ $$$+\dfrac{(20-17,7)^2+(21-17,7)^2}{7}=\dfrac{6,7^2+0,7^2+0,3^2+0,3^2+1,3^2+2,3^2+3,3^2}{7}=$$$ $$$=\dfrac{44,89+0,49+0,09+0,09+1,69+5,29+10,89}{7}=$$$ $$$=\dfrac{63,43}{7}\simeq9,06$$$ y se despeja la desviación típica haciendo la raíz $$\sigma=\sqrt{9,06}\simeq 3,01$$

Solución:

$$\sigma=3,01$$

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El profesor de matemáticas deja escoger a cada alumno el ejercicio de su agrado entre los 4 ejercicios propuestos en el examen. El profesor les garantiza que la media de las notas de cada ejercicio será la misma. Los resultados son los siguientes:

Hallar la varianza y la desviación típica de las notas del conjunto de la clase.

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Desarrollo:

Aplicando la fórmula $$$\sigma^2=\dfrac{\sigma_1^2k_1+\sigma_2^2k_2+\ldots+\sigma_n^2k_n }{k_1+k_2+\ldots+k_n}=\dfrac{2,73^2\cdot15+1,22^2\cdot4+3,12^2\cdot9+2,87^2\cdot3}{15+4+9+3}=$$$ $$$\dfrac{111,79+5,95+87,61+24,71}{31}=\dfrac{230,06}{31}=7,42$$$

Sacando la raíz se despeja la desviación típica $$$\sigma=\sqrt{7,42}=2,72$$$

Solución:

$$\sigma^2=7,42$$ y $$\sigma=2,72$$.

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