Indica qué parejas de los vectores siguientes forman una base, en caso de que la formen determina las coordenadas del vector $$\vec{w}=(5,-2)$$ en cada base.
- $$\vec{u}=(2,0)$$, $$\ \vec{v}=(1,1)$$
- $$\vec{u}=(2,1)$$, $$\ \vec{v}=(1,-1)$$
- $$\vec{u}=(1,-3)$$, $$\ \vec{v}=(-3,9)$$
Desarrollo:
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Los vectores $$\vec{u}=(2,0)$$ y $$\ \vec{v}=(1,1)$$ son linealmente independientes porque no tienen la misma dirección, sus coordenadas no son proporcionales: $$$\dfrac{0}{2}\neq\dfrac{1}{1}$$$ Observamos que como la segunda componente del vector $$\vec{u}$$ es $$0$$ hemos hecho el cociente al revés pues lo que nos interesa es comprovar si sus componentes son proporcionales. Otra manera de comprobar que son linealmente independientes es viendo que cualquier combinación lineal de estos vectores igualada a cero implica que los escalares de la combinación lineal son nulos: $$$\lambda(2,0)+\mu(1,1)=(2\lambda+\mu,\mu)=(0,0)$$$ $$$\left. \begin{array}{r} 2\lambda+\mu=0 \\ \mu=0 \end{array} \right\} \Rightarrow \mu=0, \ \lambda=0$$$ Así pues, como los vectores son linealmente independientes forman una base. Las coordenadas de $$\vec{w}$$ en esta base, son escalares que cumplen $$\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$$, es decir: $$$(5,-2)=a(2,0)+b(1,1)=(2a,0)+(b,b)=(2a+b,b)$$$ $$$\left. \begin{array}{r} 2a+b=5 \\ b=-2 \end{array} \right\} \Rightarrow a=\dfrac{7}{2}, \ b=-2$$$ Por lo tant $$\vec{w}=(\dfrac{7}{2},-2)$$ en la base $$B=\{\vec{u},\vec{v}\}$$.
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Los vectores $$\vec{u}=(2,1)$$ y $$\ \vec{v}=(1,-1)$$ son linealmente independientes porque sus coordenadas no son proporcionales: $$$\dfrac{2}{1}\neq\dfrac{1}{-1}$$$ Por lo tanto forman una base. Las coordenadas de $$\vec{w}$$ en esta base cumplen $$\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$$, es decir: $$$(5,-2)=a(2,1)+b(1,-1)=(2a+b,a-b)$$$ $$$\left. \begin{array}{r} 2a+b=5 \\ a-b=-2 \end{array} \right\} \Rightarrow a=1, \ b=3$$$ Por lo tanto $$\vec{w}=(1,3)$$ en la base $$B=\{\vec{u},\vec{v}\}$$.
- Vemos que en este caso los vectores $$\vec{u}=(1,-3)$$ y $$\ \vec{v}=(-3,9)$$ son linealmente dependientes, dado que: $$$\dfrac{1}{-3}\neq\dfrac{-3}{9} \Rightarrow -\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}$$$ Otra forma de ver que son linealmente dependientes es encontrando escalares diferentes de cero tales que se cumpla $$a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{0}$$, es decir: $$$a(1,-3)+b(-3,9)=(a,-3a)+(-3b,9b)=(a-3b,-3a+9b)=(0,0)$$$ $$$\left. \begin{array}{r} a-3b=0 \\ -3a+9b=0 \end{array} \right\} \Rightarrow a=3b \Rightarrow -3(3b)+9b=0 \Rightarrow \Rightarrow -9b+9b=0 $$$ la segunda ecuación no nos aporta información, así pues sólo se tiene que cumplir $$a = 3b$$, por ejemplo $$a = 3$$, $$b = 1$$ sería una solución de nuestro sistema. Al no ser linealmente independientes no pueden formar una base.
Solución:
- Los vectores $$\vec{u}=(2,0)$$ y $$\ \vec{v}=(1,1)$$ forman una base. $$\vec{w}=(\dfrac{7}{2},-2)$$ en la base $$B=\{\vec{u},\vec{v}\}$$.
- Los vectores $$\vec{u}=(2,1)$$ y $$\ \vec{v}=(1,-1)$$ forman una base. $$\vec{w}=(1,3)$$ en la base $$B=\{\vec{u},\vec{v}\}$$.
- Los vectores $$\vec{u}=(1,-3)$$ y $$\ \vec{v}=(-3,9)$$ no forman una base.