Bases y coordenadas

Un espacio vectorial es una estructura matemática formada por un conjunto de vectores, los cuales se pueden sumar, restar entre ellos y multiplicar por escalares. En este apartado, trabajaremos en espacios vectoriales, en los que operaremos con vectores y definiremos el concepto de base.

En el plano, dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ forman una base si son linealmente independientes, dado que cualquier vector $\vec{w}$ se puede expresar como combinación lineal de éstos dos.

La base formada por $\vec{u}$ y $\vec{v}$ se representa como $B = {\vec{u}, \vec{v}}$ .

Dada una base cualquiera $B = {\vec{u}, \vec{v}}$ , $\vec{w} = λ \vec{u} + μ \vec{v}$

Esta expresión es única, es decir, $λ$ y $μ$ están unívocamente determinados.

Las coordenadas de $\vec{w}$ en la base $B$ son $λ$ y $μ$ . De manera que podemos decir que $\vec{w} = (λ, μ)$ en la base $B$ .

De las infinitas bases que podemos encontrar entre los vectores del plano hay una especialmente sencilla: es la que está formada por dos vectores $\vec{i}$ y $\vec{j}$ perpendiculares entre ellos y de módulo $1$ . Esta base se denomina base canónica del plano.

Recordamos que dos vectores son perpendiculares cuando forman un ángulo de $90^{\circ}$ entre ellos.

Ejemplo

El vector $\vec{v} = (2, 3)$ expresado en la base canónica $B = {\vec{i}, \vec{j}}$ és $\vec{v} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j}$ .
¿Los vectores siguientes forman una base en el plano?
- $\vec{u} = (1, 1)$ , $\vec{v} = (- 3, - 3)$ . Como $\frac{1}{- 3} = \frac{1}{- 3}$ son vectores l.d. (linealmente dependientes) de manera que no pueden formar una base.
- $\vec{u} = (- 1, 2)$ , $\vec{v} = (2, 3)$ . Como $\frac{- 1}{2} \neq \frac{2}{3}$ son vectores l.i. (linealmente independientes), por lo tanto, forman una base en el plano.
- $\vec{u} = (4, 2)$ , $\vec{v} = (2, 1)$ . Como $2 = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2$ son vectores l.d. (linealmente dependientes) de manera que no pueden formar una base.
Expresar el vector $\vec{w} = (4, 5)$ como combinación lineal de los de la base $B = {\vec{u}, \vec{v}}$ donde $\vec{u} = (1, 1)$ y $\vec{v} = (2, 3)$ .

Queremos encontrar $λ$ y $μ$ tales que: $(4, 5) = λ (1, 1) + μ (2, 3) = (λ, λ) + (2 μ, 3 μ) = (λ + 2 μ, λ + 3 μ)$ por lo tanto, $\begin{array}{lr} 4 = λ + 2 μ & (a) \\ 5 = λ + 3 μ & (b) \end{array}} \Rightarrow restando (a) - (b) \Rightarrow 1 = μ \Rightarrow λ = 4 - 2 μ = 4 - 2 = 2$

De manera que el vector $\vec{w} = (4, 5)$ será el $(2, 1)$ en la base $B = {\vec{u}, \vec{v}}$ .