Bases i coordenades

Un espai vectorial és una estructura matemàtica formada per un conjunt de vectors, els quals es poden sumar, restar entre ells i multiplicar per escalars. En aquest apartat, treballarem en espais vectorials, on operarem amb vectors i definirem el concepte de base.

En el pla, dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ formen una base si són linealment independents, ja que qualsevol vector $\vec{w}$ es pot expressar com a combinació lineal d'aquests dos.

La base formada per $\vec{u}$ i $\vec{v}$ es representa com $B = {\vec{u}, \vec{v}}$ .

Donada una base qualsevol $B = {\vec{u}, \vec{v}}$ , $\vec{w} = λ \vec{u} + μ \vec{v}$

Aquesta expressió és única, és a dir, $λ$ i $μ$ estan unívocament determinats.

Les coordenades de $\vec{w}$ a la base $B$ són $λ$ i $μ$ . Per tant, podem dir que $\vec{w} = (λ, μ)$ en la base $B$ .

De les infinites bases que podem trobar entre els vectors del pla hi ha una d'especialment senzilla: és la que està formada per dos vectors $\vec{i}$ i $\vec{j}$ perpendiculars entre ells i de mòdul $1$ . Aquesta base es denomina base canònica del pla.

Recordem que dos vectors són perpendiculars quan formen un angle de $90^{\circ}$ entre ells.

Exemple

El vector $\vec{v} = (2, 3)$ expressat en la base canònica $B = {\vec{i}, \vec{j}}$ és $\vec{v} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j}$ .
Els vectors següents formen una base en el pla?
- $\vec{u} = (1, 1)$ , $\vec{v} = (- 3, - 3)$ . Com que $\frac{1}{- 3} = \frac{1}{- 3}$ són vectors l.d. (linealment dependents) de manera que no poden formar una base.
- $\vec{u} = (- 1, 2)$ , $\vec{v} = (2, 3)$ . Com que $\frac{- 1}{2} \neq \frac{2}{3}$ són vectors l.i. (linealment independents), per tant, formen una base en el pla.
- $\vec{u} = (4, 2)$ , $\vec{v} = (2, 1)$ . Com que $2 = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2$ són vectors l.d. (linealment dependents) de manera que no poden formar una base.
Expressar el vector $\vec{w} = (4, 5)$ com a combinació lineal dels de la base $B = {\vec{u}, \vec{v}}$ on $\vec{u} = (1, 1)$ i $\vec{v} = (2, 3)$ .

Volem trobar $λ$ i $μ$ tals que: $(4, 5) = λ (1, 1) + μ (2, 3) = (λ, λ) + (2 μ, 3 μ) = (λ + 2 μ, λ + 3 μ)$ per tant, $\begin{array}{lr} 4 = λ + 2 μ & (a) \\ 5 = λ + 3 μ & (b) \end{array}} \Rightarrow restant (a) - (b) \Rightarrow 1 = μ \Rightarrow λ = 4 - 2 μ = 4 - 2 = 2$

De manera que el vector $\vec{w} = (4, 5)$ serà el $(2, 1)$ en la base $B = {\vec{u}, \vec{v}}$ .