Un espai vectorial és una estructura matemàtica formada per un conjunt de vectors, els quals es poden sumar, restar entre ells i multiplicar per escalars. En aquest apartat, treballarem en espais vectorials, on operarem amb vectors i definirem el concepte de base.
En el pla, dos vectors $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$ formen una base si són linealment independents, ja que qualsevol vector $$\vec{w}$$ es pot expressar com a combinació lineal d'aquests dos.
La base formada per $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$ es representa com $$B=\{\vec{u}, \vec{v}\}$$.
Donada una base qualsevol $$B=\{\vec{u}, \vec{v}\}$$, $$$\vec{w}= \lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$$$
Aquesta expressió és única, és a dir, $$\lambda$$ i $$\mu$$ estan unívocament determinats.
Les coordenades de $$\vec{w}$$ a la base $$B$$ són $$\lambda$$ i $$\mu$$. Per tant, podem dir que $$\vec{w}=(\lambda,\mu)$$ en la base $$B$$.
De les infinites bases que podem trobar entre els vectors del pla hi ha una d'especialment senzilla: és la que està formada per dos vectors $$\vec{i}$$ i $$\vec{j}$$ perpendiculars entre ells i de mòdul $$1$$. Aquesta base es denomina base canònica del pla.
Recordem que dos vectors són perpendiculars quan formen un angle de $$90^\circ$$ entre ells.
-
El vector $$\vec{v}=(2,3)$$ expressat en la base canònica $$B=\{\vec{i}, \vec{j}\}$$ és $$\vec{v}=2\vec{i}+3\vec{j}$$.
-
Els vectors següents formen una base en el pla?
-
$$\vec{u}=(1,1)$$, $$\vec{v}=(-3,-3)$$. Com que $$\dfrac{1}{-3}= \dfrac{1}{-3}$$ són vectors l.d. (linealment dependents) de manera que no poden formar una base.
-
$$\vec{u}=(-1,2)$$, $$\vec{v}=(2,3)$$. Com que $$\dfrac{-1}{2}\neq \dfrac{2}{3}$$ són vectors l.i. (linealment independents), per tant, formen una base en el pla.
- $$\vec{u}=(4,2)$$, $$\vec{v}=(2,1)$$. Com que $$2=\dfrac{4}{2}= \dfrac{2}{1}=2$$ són vectors l.d. (linealment dependents) de manera que no poden formar una base.
-
-
Expressar el vector $$\vec{w}=(4,5)$$ com a combinació lineal dels de la base $$B=\{\vec{u},\vec{v}\}$$ on $$\vec{u}=(1,1)$$ i $$\vec{v}=(2,3)$$.
Volem trobar $$\lambda$$ i $$\mu$$ tals que: $$$ (4,5)=\lambda(1,1)+\mu(2,3)= (\lambda,\lambda)+(2\mu,3\mu)=(\lambda+2\mu,\lambda+3\mu)$$$ per tant, $$$ \left. \begin{array}{lr} 4=\lambda+2\mu & (a) \\ 5=\lambda +3\mu & (b) \end{array} \right\} \Rightarrow \ \text{ restant } \ (a)-(b) \Rightarrow 1=\mu \Rightarrow \lambda=4-2\mu=4-2=2$$$
De manera que el vector $$\vec{w}=(4,5)$$ serà el $$(2,1)$$ en la base $$B=\{\vec{u},\vec{v}\}$$.