Combinació lineal entre vectors

Donats dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ denotem combinació lineal de $\vec{u}$ i $\vec{v}$ a qualsevol expressió de la forma: $λ \vec{u} + μ \vec{v}$ on $λ$ i $μ$ són nombres reals.

Un vector $\vec{w}$ és combinació lineal de $\vec{u}$ i $\vec{v}$ si existeixen nombres reals (escalars) $λ$ i $μ$ que permeten expressar $\vec{w}$ de la forma: $\vec{w} = λ \vec{u} + μ \vec{v}$ .

Els vectors amb els que hem tractat fins ara són vectors en el pla, és a dir, tenen dos components. En aquest cas podem expressar qualsevol vector $\vec{w}$ com una combinació lineal de dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ no paral·lels. Aquesta combinació és única.

Exemple

El vector $\vec{w} = (- 1, 3)$ es pot expressar com a combianció lineal de $\vec{u} = (1, 2)$ i $\vec{v} = (0, 3)$ ?

Volem trobar $λ$ i $μ$ de manera que $\vec{w} = λ \vec{u} + μ \vec{v}$ . Tenim: $(- 1, 3) = λ (1, 2) + μ (0, 3) = (λ, 2 λ) + (0, 3 μ) = (λ, 2 λ + 3 μ)$

De manera que: $\begin{array}{rcl} - 1 & = & λ \\ 3 & = & 2 λ + 3 μ \end{array}} \Rightarrow λ = - 1, μ = \frac{5}{3}$

Acabem de trobar uns valors per $λ$ i $μ$ per als quals es compleix $\vec{w} = λ \vec{u} + μ \vec{v}$ . Així doncs, sí que podem expressar $\vec{w} = (- 1, 3)$ com una combinació lineal de $\vec{u} = (1, 2)$ i $\vec{v} = (0, 3)$ .