Producte Vectorial

Donats dos vectors en dimensió 3, és a dir, amb tres components, podem definir una nova operació: el producte vectorial. El producte vectorial entre dos vectors $\vec{a}$ i $\vec{b}$ és un altre vector $\vec{c}$ .

Definim el producte vectorial per: $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ . També es pot escriure el producte vectorial utilitzant el símbol $\land$ . De manera que $\vec{c} = \vec{a} \land \vec{b}$ .

Característiques del vector resultant $\vec{c}$ al producte vectorial de dos vectors $\vec{a}$ i $\vec{b}$ :

La direcció és perpendicular al pla format pels dos vectors $\vec{a}$ i $\vec{b}$ .
El sentit del vector $\vec{c}$ ve donat aplicant la "regla del llevataps" o "regla de la mà dreta":

imagen

És el sentit cap el qual es mouria un llevataps quan es fa girar. Quan fem girar un llevataps o un cargol "cap a la dreta" (en el sentit de la agulles d'un rellotge) el llevataps o el cargol "avança". També es pot utilitzar el llevataps o un cargol en l'altre sentit: quan es fa girar un llevataps o un cargol "cap a l'esquerra" (contrari a les agulles del rellotge), el llevataps o el cargol "retrocedeix".

Com determinar el vector resultant $\vec{c}$ del producte vectorial de $\vec{a}$ i $\vec{b}$ en coordenades:

Si $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ i $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ . El producte vectorial entre $\vec{a}$ i $\vec{b}$ és el vector $\vec{c}$ . Per això calculem el determinant següent:

$\vec{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} | \vec{i} + (- 1) | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} | \vec{k}$

On $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ és la base canònica de $R^{3}$ . És a dir, $\vec{i} = (1, 0, 0)$ , $\vec{j} = (0, 1, 0)$ , $\vec{k} = (0, 0, 1)$ , formen una base ortonormal.

Exemple

Si $\vec{a} = (2, 0, - 1)$ , $\vec{b} = (1, 1, - 2)$ . Calculem $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ :

$\vec{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix} | \vec{i} + (- 1) | \begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} | \vec{k} = (1, 3, 2)$

Altres maneres de determinar el producte vectorial de $\vec{a}$ i $\vec{b}$ :

$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin (\hat{a b}) \cdot \hat{n}$

on $\hat{n}$ és un vector unitari en la direcció i sentit corresponent. Direcció perpendicular al pla format per $\vec{a}$ i $\vec{b}$ i sentit donat per la regla del llevataps.

imagen

Propietats del producte vectorial:

$\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$

imagen

Si $\vec{a}$ i $\vec{b}$ estan en la mateixa recta, és a dir, si són vectors lligats i són a la mateixa recta, aleshores el producte escalar és zero.

Exemple

Si $\vec{a} = (1, 0, 0)$ i $\vec{b} = (- 2, 0, 0)$ llavors:

$\vec{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 0 & 0 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} | \vec{i} + (- 1) | \begin{matrix} 1 & - 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} 1 & - 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} | \vec{k} = (0, 0, 0) = \vec{0}$