Producte Vectorial

Donats dos vectors en dimensió 3, és a dir, amb tres components, podem definir una nova operació: el producte vectorial. El producte vectorial entre dos vectors $$\vec{a}$$ i $$\vec{b}$$ és un altre vector $$\vec{c}$$.

Definim el producte vectorial per: $$\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$$. També es pot escriure el producte vectorial utilitzant el símbol $$\land$$. De manera que $$\vec{c}=\vec{a}\land\vec{b}$$.

Característiques del vector resultant $$\vec{c}$$ al producte vectorial de dos vectors $$\vec{a}$$ i $$\vec{b}$$:

• La direcció és perpendicular al pla format pels dos vectors $$\vec{a}$$ i $$\vec{b}$$.
• El sentit del vector $$\vec{c}$$ ve donat aplicant la "regla del llevataps" o "regla de la mà dreta":

És el sentit cap el qual es mouria un llevataps quan es fa girar. Quan fem girar un llevataps o un cargol "cap a la dreta" (en el sentit de la agulles d'un rellotge) el llevataps o el cargol "avança". També es pot utilitzar el llevataps o un cargol en l'altre sentit: quan es fa girar un llevataps o un cargol "cap a l'esquerra" (contrari a les agulles del rellotge), el llevataps o el cargol "retrocedeix".

Com determinar el vector resultant $$\vec{c}$$ del producte vectorial de $$\vec{a}$$ i $$\vec{b}$$ en coordenades:

Si $$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$$ i $$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$$. El producte vectorial entre $$\vec{a}$$ i $$\vec{b}$$ és el vector $$\vec{c}$$. Per això calculem el determinant següent:

$$$\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \vec{k}$$$

On $$\vec{i}$$, $$\vec{j}$$, $$\vec{k}$$ és la base canònica de $$\mathbb{R}^3$$. És a dir, $$\vec{i}=(1,0,0)$$, $$\vec{j}=(0,1,0)$$, $$\vec{k}=(0,0,1)$$, formen una base ortonormal.

Altres maneres de determinar el producte vectorial de $$\vec{a}$$ i $$\vec{b}$$:

$$$\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}= |\vec{a}||\vec{b}|\sin(\widehat{ab})\cdot\hat{n}$$$

on $$\hat{n}$$ és un vector unitari en la direcció i sentit corresponent. Direcció perpendicular al pla format per $$\vec{a}$$ i $$\vec{b}$$ i sentit donat per la regla del llevataps.

Propietats del producte vectorial:

1. $$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$$

2. Si $$\vec{a}$$ i $$\vec{b}$$ estan en la mateixa recta, és a dir, si són vectors lligats i són a la mateixa recta, aleshores el producte escalar és zero.