Producto Vectorial

Dados dos vectores en dimensión 3, es decir, con tres componentes, podemos definir una nueva operación: el producto vectorial. El producto vectorial entre dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es otro vector $\vec{c}$ .

Definimos el producto vectorial por: $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ . También se puede encontrar el producto vectorial utilizando el símbolo $\land$ . De manera que $\vec{c} = \vec{a} \land \vec{b}$ .

Características del vector resultante $\vec{c}$ al producto vectorial de dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ :

La dirección es perpendicular al plano formado por los dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ .
El sentido del vector $\vec{c}$ viene dado aplicando la "regla del sacacorchos" o "regla de la mano derecha".

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Es el sentido para el cual se movería un sacacorchos cuando se hace girar. Si giramos un sacacorchos o un tornillo "hacia la derecha" (en el sentido de la agujas de un reloj) el sacacorchos o el tornillo "avanza". También se puede utilizar el sacacorchos o un tornillo en el otro sentido: cuando se hace girar un sacacorchos o un tornillo "hacia la izquierda" (contrario a las agujas del reloj), el sacacorchos o el tornillo "retrocede".

Cómo determinar el vector resultante $\vec{c}$ del producto vectorial de $\vec{a}$ y $\vec{b}$ en coordenadas:

Si $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ y $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ . El producto vectorial entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es el vector $\vec{c}$ . Para ello calculamos el determinante siguiente:

$\vec{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} | \vec{i} + (- 1) | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} | \vec{k}$

Donde $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ es la base canónica de $R^{3}$ . Es decir, $\vec{i} = (1, 0, 0)$ , $\vec{j} = (0, 1, 0)$ , $\vec{k} = (0, 0, 1)$ , forman una base ortonormal.

Ejemplo

Si $\vec{a} = (2, 0, - 1)$ , $\vec{b} = (1, 1, - 2)$ . Calculemos $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ :

$\vec{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix} | \vec{i} + (- 1) | \begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} | \vec{k} = (1, 3, 2)$

Otra manera de determinar el producto vectorial de $\vec{a}$ y $\vec{b}$ :

$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin (\hat{a b}) \cdot \hat{n}$

donde $\hat{n}$ es un vector unitario en la dirección y sentido correspondiente. Dirección perpendicular al plano formado por $\vec{a}$ y $\vec{b}$ y sentido dado por la regla del sacacorchos.

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Propiedades del producto vectorial:

$\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$

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Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ estan en la misma recta, es decir, si son vectores ligados y están en la misma recta; entonces el producto escalar es cero.

Ejemplo

Si $\vec{a} = (1, 0, 0)$ y $\vec{b} = (- 2, 0, 0)$ entonces:

$\vec{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 0 & 0 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} | \vec{i} + (- 1) | \begin{matrix} 1 & - 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} 1 & - 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} | \vec{k} = (0, 0, 0) = \vec{0}$