Producto Vectorial

Dados dos vectores en dimensión 3, es decir, con tres componentes, podemos definir una nueva operación: el producto vectorial. El producto vectorial entre dos vectores $$\vec{a}$$ y $$\vec{b}$$ es otro vector $$\vec{c}$$.

Definimos el producto vectorial por: $$\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$$. También se puede encontrar el producto vectorial utilizando el símbolo $$\land$$. De manera que $$\vec{c}=\vec{a}\land\vec{b}$$.

Características del vector resultante $$\vec{c}$$ al producto vectorial de dos vectores $$\vec{a}$$ y $$\vec{b}$$:

• La dirección es perpendicular al plano formado por los dos vectores $$\vec{a}$$ y $$\vec{b}$$.
• El sentido del vector $$\vec{c}$$ viene dado aplicando la "regla del sacacorchos" o "regla de la mano derecha".

Es el sentido para el cual se movería un sacacorchos cuando se hace girar. Si giramos un sacacorchos o un tornillo "hacia la derecha" (en el sentido de la agujas de un reloj) el sacacorchos o el tornillo "avanza". También se puede utilizar el sacacorchos o un tornillo en el otro sentido: cuando se hace girar un sacacorchos o un tornillo "hacia la izquierda" (contrario a las agujas del reloj), el sacacorchos o el tornillo "retrocede".

Cómo determinar el vector resultante $$\vec{c}$$ del producto vectorial de $$\vec{a}$$ y $$\vec{b}$$ en coordenadas:

Si $$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$$ y $$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$$. El producto vectorial entre $$\vec{a}$$ y $$\vec{b}$$ es el vector $$\vec{c}$$. Para ello calculamos el determinante siguiente:

$$$\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \vec{k}$$$

Donde $$\vec{i}$$, $$\vec{j}$$, $$\vec{k}$$ es la base canónica de $$\mathbb{R}^3$$. Es decir, $$\vec{i}=(1,0,0)$$, $$\vec{j}=(0,1,0)$$, $$\vec{k}=(0,0,1)$$, forman una base ortonormal.

Otra manera de determinar el producto vectorial de $$\vec{a}$$ y $$\vec{b}$$:

$$$\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}= |\vec{a}||\vec{b}|\sin(\widehat{ab})\cdot\hat{n}$$$

donde $$\hat{n}$$ es un vector unitario en la dirección y sentido correspondiente. Dirección perpendicular al plano formado por $$\vec{a}$$ y $$\vec{b}$$ y sentido dado por la regla del sacacorchos.

Propiedades del producto vectorial:

1. $$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$$

2. Si $$\vec{a}$$ y $$\vec{b}$$ estan en la misma recta, es decir, si son vectores ligados y están en la misma recta; entonces el producto escalar es cero.