Ejercicios de Producto Vectorial

Si $\vec{a} = (2, 1, - 1)$ , $\vec{b} = (4, 2, - 2)$ , $\vec{c} = (4, 2, - 2)$ . Calcula el producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ , $\vec{b} \times \vec{c}$ y $\vec{a} \times \vec{c}$ .

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Desarrollo:

Aplicamos la fórmula del producto vectorial, como antes.

$\vec{a} \times \vec{b} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & - 1 \\ 4 & 2 & - 2 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & - 2 \end{matrix} | \vec{i} + (- 1) | \begin{matrix} 2 & - 1 \\ 4 & - 2 \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & - 2 \end{matrix} | \vec{k} = (0, 0, 0)$

$\vec{b} \times \vec{c} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 2 & - 2 \\ 0 & - 1 & - 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 2 & - 2 \\ - 1 & - 1 \end{matrix} | \vec{i} + (- 1) | \begin{matrix} 4 & - 2 \\ 0 & - 1 \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} 4 & - 1 \\ 0 & - 1 \end{matrix} | \vec{k} = (- 4, 4, - 4)$

$\vec{a} \times \vec{c} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & - 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{matrix} | \vec{i} + (- 1) | \begin{matrix} 2 & - 1 \\ 0 & - 1 \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & - 1 \end{matrix} | \vec{k} = (- 2, 2, - 2)$

Solución:

$(0, 0, 0)$ , $(- 4, 4, - 4)$ y $(- 2, 2, - 2)$

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Si $\vec{a} = (1, 2, 3)$ , $\vec{b} = (- 2, 1, 0)$ . Calcula el producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ y $\vec{b} \times \vec{a}$ .

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Desarrollo:

Apliquem la fórmula del producte vectorial:

$\vec{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} | \vec{i} + (- 1) | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} | \vec{k}$

$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ - 2 & 1 & 0 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{matrix} | \vec{i} + (- 1) | \begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 0 \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} 1 & 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix} | \vec{k} = (- 3, - 6, 5)$

$\vec{b} \times \vec{a} = \vec{c} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{matrix} | \vec{i} + (- 1) | \begin{matrix} - 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} - 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} | \vec{k} = (3, 6, - 5)$

Podemos ver com al invertir el orden de los vectores en el producto vectorial, el resultado cambia sólamente de signo.

Solución:

$(- 3, - 6, 5)$ y $(3, 6, - 5)$

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Si $\vec{a} = (0, 1, 0)$ , $\vec{b} = (1, 1, 0)$ . Calcula el producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ y $\vec{b} \times \vec{a}$ .

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Desarrollo:

Aplicamos la fórmula del producto vectorial, como antes.

$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} | \vec{i} + (- 1) | \begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} | \vec{k} = (0, 0, - 1)$

$\vec{b} \times \vec{a} = \vec{c} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} | \vec{i} + (- 1) | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} | \vec{k} = (0, 0, 1)$

Solución:

$(0, 0, - 1)$ y $(0, 0, 1)$

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