Exercicis de Producte Vectorial

Desenvolupament:

Apliquem la fórmula del producte vectorial, com abans.

$$$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{k}=(0,0,-1)$$$

$$$\vec{b}\times\vec{a}=\vec{c}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \vec{k}=(0,0,1)$$$

Solució:

$$(0,0,-1)$$ i $$(0,0,1)$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Apliquem la fórmula del producte vectorial, com abans.

$$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & -2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} \vec{k}=(0,0,0)$$$

$$$\vec{b}\times\vec{c}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \vec{k}=(-4,4,-4)$$$

$$$\vec{a}\times\vec{c}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \vec{k}=(-2,2,-2)$$$

Solució:

$$(0,0,0)$$, $$(-4,4,-4)$$ i $$(-2,2,-2)$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Apliquem la fórmula del producte vectorial:

$$$\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \vec{k}$$$

$$$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\-2 & 1 \end{vmatrix} \vec{k}=(-3,-6,5)$$$

$$$\vec{b}\times\vec{a}=\vec{c}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \vec{k}=(3,6,-5)$$$

Podem veure com a l'invertir l'ordre dels vectors en el producte vectorial, el resultat canvia només de signe.

Solució:

$$(-3,-6,5)$$ i $$(3,6,-5)$$

Amagar desenvolupament i solució