Combinación lineal entre vectores

Dados dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ denotamos combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ a cualquier expresión de la forma: $λ \vec{u} + μ \vec{v}$ donde $λ$ y $μ$ son números reales.

Un vector $\vec{w}$ es combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ si existen números reales (escalares) $λ$ y $μ$ que permitan expresar $\vec{w}$ de la forma: $\vec{w} = λ \vec{u} + μ \vec{v}$ .

Los vectores con los que hemos tratado hasta ahora son vectores en el plano, es decir, tienen dos componentes. En este caso podemos expresar cualquier vector $\vec{w}$ como combianción lineal de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no paralelos. Esta combinación es única.

Ejemplo

¿El vector $\vec{w} = (- 1, 3)$ se puede expresar como combianción lineal de $\vec{u} = (1, 2)$ y $\vec{v} = (0, 3)$ ?

Queremos encontrar $λ$ y $μ$ de manera que $\vec{w} = λ \vec{u} + μ \vec{v}$ . Tenemos: $(- 1, 3) = λ (1, 2) + μ (0, 3) = (λ, 2 λ) + (0, 3 μ) = (λ, 2 λ + 3 μ)$

De manera que: $\begin{array}{rcl} - 1 & = & λ \\ 3 & = & 2 λ + 3 μ \end{array}} \Rightarrow λ = - 1, μ = \frac{5}{3}$

Acabamos de encontrar unos valores para $λ$ y $μ$ para los que se cumple $\vec{w} = λ \vec{u} + μ \vec{v}$ . Así pues, sí que podemos expresar $\vec{w} = (- 1, 3)$ como combinación lineal de $\vec{u} = (1, 2)$ y $\vec{v} = (0, 3)$ .