Base ortogonal i base ortonormal

Diem que $B = {\vec{u}, \vec{v}}$ és una base ortogonal si els vectors que la formen són perpendiculars entre si. És a dir, $\vec{u}$ i $\vec{v}$ formen un angle de $90^{\circ}$ .

Exemple

$\vec{u} = (3, 0)$ , $\vec{v} = (0, - 2)$ formen una base ortogonal ja que el producte escalar entre ells és zero i aquesta és una condició suficient per ser perpendiculars: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot (- 2) = 0$

Diem que $B = {\vec{u}, \vec{v}}$ és una base ortonormal si els vectors que la formen són perpendiculars entre si i tenen mòdul $1$ . És a dir, $\vec{u}$ i $\vec{v}$ formen un angle de $90^{\circ}$ i $| \vec{u} | = 1$ , $| \vec{v} | = 1$ .

Exemple

$\vec{u} = (1, 0)$ , $\vec{v} = (0, - 1)$ formen una base ortonormal ja que els vectors són perpendiculars (el seu producte escalar és zero) i tots dos vectors tenen mòdul $1$ .

Perpendicularitat: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (- 1) = 0$ .

Vectors unitaris: $| \vec{u} | = \sqrt{1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{1} = 1$ , $| \vec{v} | = \sqrt{0^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{1} = 1$ .