Indica en cada cas quines bases són ortogonals i/o ortonormals.
- $$\vec{u}=(2,1)$$, $$\ \vec{v}=(1,-2)$$
- $$\vec{u}=(2,1)$$, $$\ \vec{v}=(1,-1)$$
- $$\vec{u}=(1,0)$$, $$\ \vec{v}=(0,1)$$
Desenvolupament:
En cada cas calculem primer si són perpendiculars els vectors de la base utilitzant el producte escalar i després, calculem el mòdul dels vectors, si cal.
-
Calculant el producte escalar obtenim: $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot1+1\cdot(-2)=0$$$ Així doncs podem afirmar que els vectors formen un angle de $$90^\circ$$, és a dir, són perpendiculars. També podríem haver calculat l'angle que formen els vectors utilitzant la fórmula: $$$ \text{ang}(\vec{u},\vec{v})=\arccos\Big(\dfrac{u_1 v_1+u_2 v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}\Big) = \arccos \Big( \dfrac{2\cdot1+1\cdot(-2)}{\sqrt{5}\sqrt{5}}\Big) = \arccos(0)=90^\circ$$$ De manera que aquests dos vectors formen una base ortogonal. Ara falta veure si formen base ortonormal calculant el mòdul dels respectius vectors. Perquè sigui ortonormal cal que el mòdul dels dos vectors sigui $$1$$.En altres paraules, que els vectors siguin unitaris. $$$|\vec{u}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\quad |\vec{v}|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$$$ Com podem veure no són unitaris aquests vectors, així doncs, no formen una base ortonormal.
-
Calculant el producte escalar obtenim: $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot1+1\cdot(-1)=1\neq 0$$$ Així doncs podem afirmar que els vectors no són perpendicualres, ja que el producte escalar no és igual a zero. Igual que en el cas anterior també podríem calcular l'angle que formen i veuríem que és diferent de $$90^\circ$$. Per tant, aquests vectors no poden formar una base ortogonal i per tant tampoc ortonormal.
- Calculant el producte escalar obtenim: $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot0+0\cdot1=0$$$ Així doncs podem afirmar que els vectors formen un angle de $$90^\circ$$, és a dir, són perpendiculars. També podríem haver calculat l'angle que formen els vectors utilitzant la fórmula: $$$ \text{ang}(\vec{u},\vec{v}) = \arccos \Big( \dfrac{1\cdot0+0\cdot1}{\sqrt{1}\sqrt{1}}\Big) = \arccos(0)=90^\circ$$$ De manera que aquests dos vectors formen una base ortogonal. Ara falta veure si formen base ortonormal calculant el mòdul dels respectius vectors. Perquè sigui ortonormal cal que el mòdul dels dos vectors sigui $$1$$. En altres paraules, que els vectors siguin unitaris. $$$|\vec{u}|=\sqrt{1^2+0^2}=\sqrt{1}=1\quad |\vec{v}|=\sqrt{0^2+1^2}=\sqrt{1}=1$$$ Com podem veure els dos vectors tenen mòdul $$1$$, és a dir, són unitaris i per tant, a més d'una base ortogonal també formen una base ortonormal.
Solució:
- Formen una base ortogonal.
- No formen ni base ortogonal ni ortonormal.
- Formen base ortonormal i per tant també ortogonal.