Indica en cada caso qué bases son ortogonales y/o ortonormales.
- $$\vec{u}=(2,1)$$, $$\ \vec{v}=(1,-2)$$
- $$\vec{u}=(2,1)$$, $$\ \vec{v}=(1,-1)$$
- $$\vec{u}=(1,0)$$, $$\ \vec{v}=(0,1)$$
Desarrollo:
En cada caso calculamos primero si son perpendiculares los vectores de la base usando el producto escalar y luego, si es necesario, calculamos el módulo de los vectores.
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Calculando el producto escalar obtenemos: $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot1+1\cdot(-2)=0$$$ Así pues podemos afirmar que los vectores forman un ángulo de $$90^\circ$$, es decir, son perpendiculares. También podríamos haber calculado el ángulo que forman los vectores usando la fórmula: $$$ \text{ang}(\vec{u},\vec{v})=\arccos\Big(\dfrac{u_1 v_1+u_2 v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}\Big) = \arccos \Big( \dfrac{2\cdot1+1\cdot(-2)}{\sqrt{5}\sqrt{5}}\Big) = \arccos(0)=90^\circ$$$ De manera que éstos dos vectores forman una base ortogonal. Ahora falta ver si forman base ortonormal calculando el módulo de los respectivos vectores. Para que sea ortonormal es necesario que el módulo de los dos vectores sea $$1$$. En otras palabras, que los vectores sean unitarios. $$$|\vec{u}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\quad |\vec{v}|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$$$ Como podemos ver no son unitarios estos vectores, así pues, no forman una base ortonormal.
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Calculando el producto escalar obtenemos: $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot1+1\cdot(-1)=1\neq 0$$$ sí pues podemos afirmar que los vectores no son perpendicualres, ya que el producto escalar no es igual a cero. Igual que en el caso anterior también podríamos calcular el ángulo que forman y veríamos que es diferente a $$90^\circ$$. De manera que estos vectores no pueden formar una base ortogonal y por lo tanto tampoco ortonormal.
- Calculando el producto escalar obtenemos: $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot0+0\cdot1=0$$$ Así pues podemos afirmar que los vectores forman un ángulo de $$90^\circ$$, es decir, son perpendiculares. También podríamos haber calculado el ángulo que forman los vectores usando la fórmula: $$$ \text{ang}(\vec{u},\vec{v}) = \arccos \Big( \dfrac{1\cdot0+0\cdot1}{\sqrt{1}\sqrt{1}}\Big) = \arccos(0)=90^\circ$$$ De manera que éstos dos vectores forman una base ortogonal. Ahora falta ver si forman base ortonormal calculando el módulo de los respectivos vectores. ara que sea ortonormal es necesario que el módulo de los dos vectores sea $$1$$. En otras palabras, que los vectores sean unitarios. $$$|\vec{u}|=\sqrt{1^2+0^2}=\sqrt{1}=1\quad |\vec{v}|=\sqrt{0^2+1^2}=\sqrt{1}=1$$$ Como podemos ver los dos vectores tienen módulo 1, es decir, son unitarios y por lo tanto, además de una base ortogonal también forman una base ortonormal.
Solución:
- Forman una base ortogonal.
- No forman ni base ortogonal ni ortonormal.
- Forman base ortonormal y por lo tanto también ortogonal.