Vectors linealment independents i dependents

Donat un conjunt de vectors diem que són linealment dependents si un d'aquests es pot expressar com a combinació lineal dels altres. En el pla, dos vectors $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$ que tenen la mateixa direcció, són linealment dependents perquè es compleix que $$\vec{v}=\lambda\vec{u}$$.

Així doncs, podem dir que tots els vectors paral·lels són linealment dependents entre ells, ja que tots tenen la mateixa direcció.

De la mateixa manera si dos vectors no tenen la mateixa direcció són linealment independents, ja que un d'aquests vectors no es pot expressar com a combinació lineal de l'altre.

En el pla tres vectors sempre són linealment dependents perquè podem expressar un d'ells com a combinació lineal dels altres dos.

Característiques d'independència lineal:

1. Dos vectors $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$ són linealment independents si qualsevol combinació lineal d'aquests igualada a zero implica que els escalars $$\lambda$$ i $$\mu$$ són nuls: $$$ \lambda\vec{u}+\mu\vec{v}=\vec{0} \Rightarrow \lambda=0 \ \text{ i } \ \mu=0$$$
2. Dos vectors $$\vec{u}=(u_1,u_2)$$ i $$\vec{v}=(v_1,v_2)$$ són linealment independents si: $$$\dfrac{u_1}{v_1}\neq\dfrac{u_2}{v_2}$$$