Exercicis de Vectors linealment independents i dependents

Desenvolupament:

• Els vectors $\overrightarrow{u}=(0,2)$, $\overrightarrow{v}=(1,1)$ són linealment independents perquè no tenen la mateixa direcció, les seves coordenades no són proporcionals: $${\displaystyle \frac{2}{1}}\ne {\displaystyle \frac{0}{-2}}$$ Una altra manera de comprovar que són linealment independents és veient que qualsevol combinació lineal d'aquests vectors igualada a zero implica que els escalars de la combinació lineal són nuls: $$\lambda (2,0)+\mu (1,-2)=(2\lambda +\mu ,-2\mu )=(0,0)$$ $$\begin{array}{r}2\lambda +\mu =0\\ -2\mu =0\end{array}\}\Rightarrow \mu =0,\lambda =0$$

• Els vectors $\overrightarrow{u}=(2,-2)$, $\overrightarrow{v}=(1,-1)$ són linealment dependents perquè les seves coordenades són proporcionals: $$2={\displaystyle \frac{2}{1}}={\displaystyle \frac{-2}{-1}}=2$$

• Veiem que en aquest cas els vectors $\overrightarrow{u}=(1,-3)$, $\overrightarrow{v}=(-3,9)$ són linealment dependents, ja que: $${\displaystyle \frac{1}{-3}}={\displaystyle \frac{-3}{9}}\Rightarrow -{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ Una altra manera de veure que són linealment dependents és trobant escalars diferents de zero tals que es compleixi $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$, és a dir: $$a(1,-3)+b(-3,9)=(a,-3a)+(-3b,9b)=(a-3b,-3a+9b)=(0,0)$$ $$\begin{array}{r}a-3b=0\\ -3a+9b=0\end{array}\}\Rightarrow a=3b\Rightarrow -3(3b)+9b=0\Rightarrow -9b+9b=0$$ de manera que la segona equació no ens aporta informació, així doncs només s'ha de complir $a=3b$, per exemple $a=3$, $b=1$ seria una solució del nostre sistema.

Solució:

• Linealment independents.
• Linealment dependents.
• Linealment dependents.

Amagar desenvolupament i solució