Indica que parejas de los vectores siguientes son linealmente independientes o linealmente dependientes.
- $$\vec{u}=(0,2)$$, $$\vec{v}=(1,1)$$
- $$\vec{u}=(2,-2)$$, $$\vec{v}=(1,-1)$$
- $$\vec{u}=(1,-3)$$, $$\vec{v}=(-3,9)$$
Desarrollo:
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Los vectores $$\vec{u}=(0,2)$$, $$\vec{v}=(1,1)$$ son linealmente independientes porque no tienen la misma dirección, sus coordenadas no son proporcionales: $$$\dfrac{2}{1}\neq\dfrac{0}{-2}$$$ Otra manera de comprobar que son linealmente independientes es viendo que cualquier combinación lineal de estos vectores igualada a cero implica que los escalares de la combinación lineal son nulos: $$$\lambda(2,0)+\mu(1,-2)=(2\lambda+\mu,-2\mu)=(0,0)$$$ $$$\left. \begin{array}{r} 2\lambda+\mu=0 \\ -2\mu=0 \end{array} \right\} \Rightarrow \mu=0, \ \lambda=0$$$
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Los vectores $$\vec{u}=(2,-2)$$, $$\vec{v}=(1,-1)$$ son linealmente dependientes porque sus coordenadas son proporcionales: $$$2=\dfrac{2}{1}=\dfrac{-2}{-1}=2$$$
- Vemos que en este caso los vectores $$\vec{u}=(1,-3)$$, $$\vec{v}=(-3,9)$$ son linealmente dependientes, dado que: $$$\dfrac{1}{-3}=\dfrac{-3}{9} \Rightarrow -\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}$$$ Otra forma de ver que son linealmente dependientes es encontrando escalares diferentes de cero tales que se cumpla $$a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{0}$$, es decir: $$$a(1,-3)+b(-3,9)=(a,-3a)+(-3b,9b)=(a-3b,-3a+9b)=(0,0)$$$ $$$\left. \begin{array}{r} a-3b=0 \\ -3a+9b=0 \end{array} \right\} \Rightarrow a=3b \Rightarrow -3(3b)+9b=0 \Rightarrow -9b+9b=0$$$ de manera que la segunda ecuación no nos aporta información, así pues sólo se tiene que cumplir $$a = 3b$$, por ejemplo $$a = 3$$, $$b = 1$$ ería una solución de nuestro sistema.
Solución:
- Linealmente independentes.
- Linealmente dependentes.
- Linealmente dependentes.