Ejercicios de Vectores linealmente independientes y dependientes

Desarrollo:

• Los vectores $\overrightarrow{u}=(0,2)$, $\overrightarrow{v}=(1,1)$ son linealmente independientes porque no tienen la misma dirección, sus coordenadas no son proporcionales: $${\displaystyle \frac{2}{1}}\ne {\displaystyle \frac{0}{-2}}$$ Otra manera de comprobar que son linealmente independientes es viendo que cualquier combinación lineal de estos vectores igualada a cero implica que los escalares de la combinación lineal son nulos: $$\lambda (2,0)+\mu (1,-2)=(2\lambda +\mu ,-2\mu )=(0,0)$$ $$\begin{array}{r}2\lambda +\mu =0\\ -2\mu =0\end{array}\}\Rightarrow \mu =0,\lambda =0$$

• Los vectores $\overrightarrow{u}=(2,-2)$, $\overrightarrow{v}=(1,-1)$ son linealmente dependientes porque sus coordenadas son proporcionales: $$2={\displaystyle \frac{2}{1}}={\displaystyle \frac{-2}{-1}}=2$$

• Vemos que en este caso los vectores $\overrightarrow{u}=(1,-3)$, $\overrightarrow{v}=(-3,9)$ son linealmente dependientes, dado que: $${\displaystyle \frac{1}{-3}}={\displaystyle \frac{-3}{9}}\Rightarrow -{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ Otra forma de ver que son linealmente dependientes es encontrando escalares diferentes de cero tales que se cumpla $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$, es decir: $$a(1,-3)+b(-3,9)=(a,-3a)+(-3b,9b)=(a-3b,-3a+9b)=(0,0)$$ $$\begin{array}{r}a-3b=0\\ -3a+9b=0\end{array}\}\Rightarrow a=3b\Rightarrow -3(3b)+9b=0\Rightarrow -9b+9b=0$$ de manera que la segunda ecuación no nos aporta información, así pues sólo se tiene que cumplir $a=3b$, por ejemplo $a=3$, $b=1$ ería una solución de nuestro sistema.

Solución:

• Linealmente independentes.
• Linealmente dependentes.
• Linealmente dependentes.

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