- Calcular el desarrollo de $$(2a-b)^3$$.
- Calcular el sexto término de $$(x+2y)^{10}$$.
- Hallar el término central de $$(3x^2+ay)^8$$.
- ¿Cuál es el término que contiene $$x^{20}$$ en el desarrollo de $$(x^2-xy)^{13}$$?
Ver desarrollo y solución
Desarrollo:
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$$$\begin{array}{rl} (2a-b)^3=& \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} (2a)^3 - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} (2a)^3 b + \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} (2a)^2 b^2 - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} (2a) b^3 \\ =& 8a^3-12a^2b+6ab^2-b^3 \end{array}$$$
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El sexto término lo obtendremos haciendo $$k = 5$$ en la fórmula: $$$\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} x^5(2y)^5= \dfrac{10!}{5!5!}x^5 32 y^5=8064 x^5 y^5$$$
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El desarrollo tiene $$9$$ términos, luego el central es el que ocupará el quinto lugar, o sea el que se obtiene haciendo $$k = 4$$ en la fórmula general: $$$\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} x^4(2y)^4= \dfrac{8!}{4!4!}81 x^8 a^4 y^4=5670 x^8 a^4 y^4$$$
- Tenemos que calcular el valor de $$k$$: $$$(x^2)^{13-k}x^k=x^{2(13-k)}x^k=x^{26-k}$$$ $$$x^{26-k}=x^{20} \ \Rightarrow \ 26-k=20 \ \Rightarrow \ k=6$$$ Será, por tanto, el séptimo término.
Solución:
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$$ 8a^3-12a^2b+6ab^2-b^3 $$
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$$8064 x^5 y^5$$
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$$5670 x^8 a^4 y^4$$
- El séptimo término.